一、几个基本理论问题的思考

1．关于数学教育目标

知识与技能，过程与方法，情感态度价值观

——需要进一步地在数学学科中具体化，以便有更好的操作性

“双基”，数学能力，理性精神

——把过程、方法落实在双基、能力中；把情感态度价值观体现在理性精神上

隐性目标要以显性目标为载体

§     培养学生的数学思维能力和科学的思维方式

§     培养学生勇于探索、创新的个性品质

§     体验数学的魅力，激发爱国主义热情

§     在探索、证明直线与平面位置关系有关定理的过程中，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力

§     在掌握用图解法求最优解的基本方法的过程中，领悟数形结合、等价转化等数学思想，培养数学应用意识

2．关于数学课程的内容

§    三条原则：学生、社会、数学的需求与可能

§    核心概念和基本思想（数及其运算、函数、空间观念、数形结合、向量、导数、统计思想、算法等）为主体，不必在内容的细节上作过多拓展

§    特别注意与学生思维发展水平相适应

3．关于师生关系

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者

课堂是“对话的场所”，师生是平等的对话者关系

“双主体”观

学生的主体性：数学思维的自主

教师的主体性：整个教学活动的设计者、组织者、引导者（主要是对学生思维的引导）

师生平等：人格平等，不是“一切平等”

4.关于教学方式

§     要把提高课堂教学效益和质量作为追求目标

§     教师的启发式讲解非常重要

§     教师应当对如何讲解精心设计，关键是设计恰当的问题引导学生主动思维、独立思考

§     把教学设计的基点放在提高学生的思维参与度上，使讲授与活动相结合，接受与探究相结合，形成互补，从而促进学生主动学习

5．关于数学学习方式

数学学习是学生自己建构数学知识的过程

§    学生主要以接受已有数学知识为主

§    数学知识（包括数学思想方法）是可以传授的,接受式学习方式是主要的

§    不同类型知识用不同的学习方式

§    学习过程应当是有意义的，而不是机械的

§    要处理好知识的系统学习与“问题解决”式学习的关系（接受与探究的关系）

6．关于基础与创新

因为过分强调基础，所以缺乏创造力。

打基础不存在“过分”的问题，只有“不到位”的问题；

“基础”与“创新”是相辅相成的；

打基础的过程中可以培养创造力：问题引导学习，使学生在学习基础知识的过程中，经历知识的发现过程、概念的概括过程，应用知识解决问题的过程。

7.关于知识与能力

有了能力，知识的学习是不在话下的

§     “隔行如隔山”，“无知者无能”

§     只有以学科知识为载体的思维训练才有效

§     一个人不能数学地解决问题的主要原因是缺乏数学知识

§     知识的积累是能力发展的前提，知识的理解过程也是能力的发展过程

§     概念形成的能力、思维和语言表达的能力需要在知识的学习过程中有意识地加以培养的

8.关于知识与情感态度价值观

从学科本位、知识本位向关注每一个学生的发展转变

与情感态度价值观相比，知识是第二位

§    “无知者无情”

§    数学学习中，情感态度的培养应当落实在理性精神上

二、改革中应有的态度

§   积极稳妥地进行改革

§   建立在已有发展的基础上，不简单否定历史，针对问题改革

§   实事求是，科学认证，精心组织，先试验后推广

§   处理好各种复杂关系 ，“不走极端而到达顶点”

三、数学教育中存在的主要问题

§    不自然，强加于人——学生数学学习兴趣不高，内部动机不足

§    缺乏问题意识，不会提问

§    “讲逻辑而不讲思想”，关注数学思想、理性精神不够

§    学习过程不完整，重结果轻过程

§    数学思维层次不高——方法论层次的内容渗透不够

四、改革的几个基本点

1.加强“亲和力”

（1）选择与数学本质紧密相关的、典型的、丰富的和学生熟悉的素材。

（2）知识的引入强调背景，使教材、教学生动、自然而亲切，让学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人。

（3）以适当的方式启发学生更深入的数学思考，不断引发学习激情。

1.从典型实例出发引出函数概念

目的：

§    加强背景，体现“函数模型”思想

§    加强概念形成过程

§    在学生头脑中形成丰富的函数例证

抽象概念的学习要从具体例证开始

理解抽象概念需要具体例证的支持

2.实例的选择

解析式、图象、表格

目的：形成正确的函数概念

§    函数—描述变量间依赖关系的法则

§    不一定都有解析式

y=f(x)可能是解析式，也可能是图或表

§    强调函数的三要素

§    某种笔记本的单价是每个5元 ，买x(x=1，2，3，4，5）个笔记本需要y元 。试用三种表示法表示函数  y =  f（x）。

§    某种笔记本的单价是每个5元，买x （x=1，2，3，4，5）个笔记本需要y元。试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图象。

3.函数性质的讨论

——加强研究方法的引导

函数的重要特征

§     函数的增与减（单调性）

§     函数的最大值、最小值

§     函数的增长率、衰减率

§     函数增长（减少）的快与慢

§     函数的零点

§     函数（图象）对称性（奇偶性）

§     函数值的循环往复（周期性）

4.函数性质的讨论

——加强几何直观、数形结合

“三步曲”

§    观察图象 ， 描述变化规律 （上升、下降）

§    结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随x的增大而增大或减小）

§    用数学符号语言描述变化规律

2.强调问题性

§    以问题引导数学学习

§    “看过问题三百个，不会解题也会问”

§    在知识形成过程的“关键点”上，在解题策略的“关节点”上，在知识间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内提问题，提好问题，使学生领悟提问的艺术，逐步培养问题意识，孕育创新精神

提问的境界

§  度

导而弗牵

强而弗抑

开而弗达

案例二：三角函数诱导公式的推导

§    你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？

§    α的终边、α+180°的终边与单位圆交点有什么关系？

你能得出sinα与sin（α+180°）之间的关系吗？

§    我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？

§    问题情境

三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论一下终边与角α的终边关于原点、x轴、y轴以及直线y=x对称的角与角α的关系以及它们的三角函数之间的关系？

案例三：向量法——思想溯源

利用向量表示空间基本元素，将空间的基本性质和基本定理的运用转化成为向量运算律的系统运用（利用向量将几何关系及度量转化为有效能算的代数运算）：

§     点——（以确定点为始点的）向量；

§     直线——一个点A、一个方向a定性刻画；引进数乘向量ka，可以实际控制直线；

§    平面——一个点A、两个不平行的（非0）向量a，b在“原则”上确定了平面（定性刻画）；引入向量的加法a+b，平面上的点X就可以表示为λa+μb（以及定点A），而成为可操纵的对象。

§    距离和角是刻画几何元素之间度量关系的基本量——引进向量的数量积的定义

a·b=|a|·|b|·cosα，

作为反映向量的长度和两个向量间夹角的关系。

几何中的向量法——“三步曲”

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系。

4.加强联系性

推广

类比   当前内容   类比

特殊化

案例四：立体几何中的联系性

§    空间中的两条直线——平面内的两条直线

共同点：平行、相交（垂直）

不同点：既不平行也不相交，即异面

——需要特别研究

研究的问题：异面直线的交角、距离

研究的方法：“平面化”，转化为平面问题

案例五：向量中的类比

§    向量及其运算与数及其运算的类比

向量的线性运算及运算律与数的加减及其运算律的类比；向量的坐标表示与数轴上点表示数的类比；向量数量积的运算律与数的乘法运算律的类比