你想当消防员还是警察:函数定义域、值域解题办法归纳

一种特殊的对应：映射

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     （1）             （2）            （3）             （4）

1．对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。

2．对应的形式：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）

3．映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符号：f ： A   B 集合A到集合B的映射。

6．讲解：象与原象定义。

再举例：1°A={1,2,3,4}  B={3,4,5,6,7,8,9} 法则：乘2加1      是映射

        2°A=N⁺  B={0,1} 法则：B中的元素x 除以2得的余数  是映射

        3°A=Z   B=N^*     法则：求绝对值     不是映射（A中没有象）

4°A={0,1,2,4}  B={0,1,4,9,64}  法则：f ：a     b=(a-1)²  是映射

一一映射

观察上面的例图（2） 得出两个特点：

 1°对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象        （单射）

2°集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象    （满射）

即集合B中的每一个元素都有原象。

  从映射的观点定义函数（近代定义）：

   1°函数实际上就是集合A到集合B的一个映射 f：A   B 这里 A, B 非空。

   2°A：定义域，原象的集合

     B：值域，象的集合（C）其中C í B

     f：对应法则   x?A   y?B

   3°函数符号：y=f(x) —— y 是 x 的函数，简记 f(x)

函数的三要素：  对应法则、定义域、值域

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？

    1．               解：不是同一函数，定义域不同

    2_。          解：不是同一函数，定义域不同

    3_。                                  解：不是同一函数，值域不同

      4．                                解：是同一函数

    5．      解：不是同一函数，定义域、值域都不同

关于复合函数

　　设 f(x)=2x-3   g(x)=x²+2  则称 f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。

      f[g(x)]=2(x²+2)-3=2x²+1

      g[f(x)]=(2x-3)²+2=4x²-12x+11

   例：已知：f(x)=x²-x+3   求：f( )   f(x+1)

      解：f( )=( )²- +3          f(x+1)=(x+1)²-(x+1)+3=x²+x+3

1.       函数定义域的求法

l 分式中的分母不为零；

l 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

l 指数式的底数大于零且不等于一；

l 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

l 正切函数  

l 余切函数  

l 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)

函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]  ，值域是 ，

函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，

函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 ，

函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

注意，

1.     复合函数的定义域。

如：已知函数 的定义域为（1，3），则函数 的定义域。

2.     函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,

则函数 的定义域为 ，解不等式，最后结果才是

3.这里最容易犯错的地方在这里：

      已知函数 的定义域为(1,3),求函数 的定义域；或者说，已知函数 的定义域为(3,4),

则函数 的定义域为______?

2.       函数值域的求法

函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,

对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.

（1）、直接观察法

对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,

其值域可通过观察直接得到。

例 求函数 的值域

（2）、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数 的值域。

（3）、根判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简

如:

4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数 值域。

,分母不等于0,即

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数 ， ， 的值域。

10.倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例  求函数 的值域

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，

首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，

一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。