偶看新闻韧性断裂断口形貌:序列z变化与其它变换之间的关系
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/07/06 18:03:06
1. z变换与拉谱拉斯变换
理想取样信号的数学表示式为
该式定义在—∞< t <∞区间，仅当n为整数，即t为离散时间有值。因此可看作是离散时间信号表示为连续时间函数的表达式。将上式两边取拉氏变换得
若以s = 1/T lnz或eST= z代入上式，则有
即 
(3.17)
或 
(3.18)
以上两式说明，从理想取样信号的拉氏变换到序列的z变换，就是有复变量s平面到复变量z平面的映射变换，其映射关系为
z = eST (3.19)
可见，序列的z 变换也可以看作是取样信号拉氏变换的一种特殊情况。所表示的z平 面与s平面映射关系，不是一一对应而是多值关系。
因为 
其中 
图形P193
所以当 
以上说明：s平面的左半面映射到z平面的单位圆内部；s平面的右半面映射到z平面的单位圆外部；而s平面的jω轴（σ = 0）则映射到z平面的单位圆上，如图5.31所示一。从图中可见，s平面的a、b、c三点，响应地映射到z平面的a、b、c三点。但在s左半面平面c、d、e各点，由于它们的坐标分别为
所以映射到z平面上是同一个点。这说明s平面与z平面上的映射关系不是单值的，只要在s平面上具有相同的实部，且虚部为kωS时(k = o,1,2,…)则映射到z平面上是同一个点。换句话说，在z平面上一个极点c等效于在s平面上沿虚轴的方向，以间隔ωS = 2Π/T无限重复的一阶极点的组合。
综上所述，通过理想取样信号把连续时间信号与离散时间信号的分析沟通起来，把序列z变换与拉氏变换联系起来。
2. z变换与离散时间傅立叶变换（DTFT）
从式（3.1）已知序列的傅立叶变换为
可见它的取值等于序列在单位圆上（1z1 = 1）的z变换，即
或写成 
(3.20)
因此计算序列的频谱，往往可以先求序列z变换，若z变换的收敛包括单位圆在内，则将z直接代以ejΩ 即可。