偶看新闻火萤视频桌面破解版pc:算术根和指数定律
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/07/06 09:37:17
算术根的定义： 
就是方程
（1）
的正根.(
都是正整数)
⑴ 有没有正根存在？必须加上条件
.
⑵ 这个正根是否唯一的？
依据连续函数的性质.所以，中学数学的这一部分本质上属于高等数学范畴.为什么不用代数的基本定理？因为它不能保证正根的存在和唯一性，同时不便推广.代数的基本定理本质上也是依据连续函数的性质.
现在转到指数定律：
对它的讨论分成三步进行(因为涉及的问题性质不同)：
1.
为正整数.这时全部问题都归结为连乘积的性质问题，因此纯粹是算术问题，而且不必考虑存在性.
2. 为有理数(暂时限于正有理数).这时首先要解决定义问题.例如设
为正整数，则定义
.但定义的合理性如何？(暂时放在一边).然后是算术根的存在和唯一性问题.这已经由上面的定义解决了.
根式与分数有了联系，这只是外在
的，偶然的，一时的方便，还是有深
刻的内在联系？
分数有哪些基本本性，它们又与根式的哪些性质对应？似乎乘方指数与开方指数分别对应于分子和分母.那么：
ⅰ. 分数就是“乘以分子，除以分母”，但是乘除次序无关.所以，对于根式我们应该证明：
引理 1. 
（2）
(先乘方再开方或先开方再乘方均可.)
证明：记式左为
，则
再记
则
双方乘
次方.有
即是说，
均为同一个方程
的解. （3）
但此方程的正解是唯一的，所以
， 即 
证毕.
把这个结果用于定义
即有
（4）
我们以后将使用任何一个式子.
ⅱ. 正有理数
就是一对正整数(但次序有关，所以可称为一个有序正整数对
.取任意整数 
，
二者代表同一分数.这就是“通分”（反过来看就是约分）.这是分数区别于整数的根本之点.那么，对于根式有没有类似的结果？这就是
引理2.
（5）
证明：记式左为
则它满足方程双方乘次方，即知它满足方程
记式右为
，由定义知道，它满足
这样看来，
是同一个方程
的两个正根.
由唯一性，引理证毕.总之，定义分数指数的幂
， （6）
并非仅有形式的意义.这两个引理的证明均非由分数的形式运算得出，而是利用了方程解的存在与唯一性.
ⅲ.分数基本本性的另一方面是它的运算的种种特性.分数有两种基本的运算：加法和乘法.如果指数是分数，其运算对于幂的影响就成了指数定律(1)～(3).现在我们就开始来证明指数定律.请大家注意，在证明过程中，我们会用到(1)～(3).这不是循环论证，因为我们只是在
为正整数的条件下用它们.我们已经说过，那时(1)～(3)只不过就是连乘积的性质.
（1）证明：令
于是
对下式的乘方指数应用连乘积的性质，就有
（2）证明.
注意，这里
均为正整数，所以可以对第二个式子中的
应用指数定律(2)
而得第三个式子.再对它应用引理2，就有
记
，则由算术根的定义有
对前式乘
次方，再以后式代入，即有
所以
（3）证明：这里需要的是证明
.
记
则
利用方程
正根的唯一性，即得
双方乘
次方，就得到(3)式.
3. 为一般实数(但是暂时限于正数).我们仍然定义
为方程
的正根，并且仍称之为算术根.一般的书上没有这个说法.我们这
样做的原因是，：用与上面完全相同的方法，可以证明，方程仍有唯一正根存在.指数定律这时是否仍然成立？是!证明非常简单，用一点极限即可.所以略
去不说了.
两点说明
1.
怎么办？ 非正指数的定义：
目的在于保证可以进行逆运算.它与上面讲的所有结果均无矛盾.
2.
怎么办？进入复域.
和(或) 取复值将引起复杂问题，不是我们现在能解决的.
附录：小平邦彦的讲法
（见小平邦彦，微积分学入门Ⅰ一元微积分，72-73页，人民邮电出版社，2009）
幂运算
是指数函数和幂函数概念的基础：若视
为变量，就得到幂函数；若视
为变量，则得到指数函数.为什么要求，我已经在另文中作了严格的论证，这里不再说明.
幂运算有三条基本定律(我称为指数定律)：
1. 
2. 
3. 
当
为正整数时，幂就是连乘积；这时，上述三条定律是自明的，我们不再证明.现在要讨论的是为有理分数的情况，即指数为
，而
均为正整数的情况(
为
也可以，但为简单计，我们不仔细说明).以下，所谓分数均指有理分数，所以如像
之类的数暂不讨论，留待下面为一般实数时再说.
首先是当
为有理分数时（特别是
时）幂运算
的定义问题.小平邦彦书上是用
的反函数来定义
的.为此，他需要先证明严格单调连续函数必有反函数存在，并且在讲时就已经明确地证明了它在
上严格单调连续.这些都比我国通用的多数数学分析教材讲得更好.我在另一篇文章里则用了以下定义：
定义1．
即方程
的算术根（即正实数根）．
算术根的存在和唯一性没有用代数的基本定理来证明，因为它只能保证方程有复根存在，而无法保证有唯一正实根存在.所以我是用连续函数的中间值定理来证明的．这与反函数定理是完全等价的．进一步
的情况有两个方法来定义：或者定义为
的
次幂；或者定义为
的次方根，即
定义2．
即方程
（1）
的算术根．
这里只是一个暂时的记号．现在的中学教材时常就说：分数幂的定义就是
．必须明确指出，这个说法是错误的，因为它隐含地规定了乘方的次数与开方的次数的关系（也就是方程（１）左右双方的两个乘方次数的关系）是分数分子与分母的关系，而这一点正是需要着力论证的事情．正因为如此，我们在定义2后面特意提醒：
“这里只是一个暂时的记号”．
中学教材还有一点遗漏：在中是先开方后乘方还是先乘方后开方？看来似乎是先对乘次方，再对开次方．定义2则很明白是这样作的．因此自然有一个问题：可否先开方后乘方，即定义为
？实际上不但可以，而且有时还更好．原因下面再说．
在下面的讨论中，我们暂时限制幂
为正，所以
负指数的问题因为比较明确，不会有什么误解，所以这里不说了.我们先来证明先开方后乘方也是可以的．
定理１.定义2中的就是定义１中的的次方．
证明：记定义１中的为
，它的存在和唯一性上面已经说了．它是一个正实数，因此可以对它求任意正整数次幂．由定义１，
双方求次幂有
．但是
是正整数，从而
就是一个连乘积，所以
因此，
是方程
的算术根（注意是正实数）而按照定义１，
亦即
（2）
这个证明的要害是：把的有理分数幂变成的正整数幂．反正作为方程
的算术根是正实数，它的正整数幂就是简单的连乘积，所以可以应用前面讲的指数定律．以后许多证明都是这样来的．这就是为什么前面说先开方后乘方有时更好．
另一个更重要的问题是：有理分数可以写成不同形状的分数，如
等，于是就有不同的和．所以至关重要的是要证明.
定理2．如果
为正整数，
则对于有
（3）
有了这个定理以后，我们才看见了中
确实是一个有理分数．（但是我们下面还会给出一个符合现代数学要求的形式化的证明，虽然这对于大多数老师——更不说是全部中学生——是完全不必要的）．证明的方法和定理１的证明方法是一样的．
证明．对乘以
次方．由于
即
所以由（2）式有
第一步的方括号处我们应用了（2）式；第二步最外层的方括号处，我们利用了为正整数，从而可以利用前面关于幂运算的指数定律的第2条；最后一步则是定理的假设．
同样，我们也有
这样，和
是同一个方程
的算术根（和是正实数从定义2中已经明确）．由算术根的唯一性即知二者相等．证毕．
以上只考察了幂为正的情况.如果幂为负，也不会有大的难处，所以不再讨论.
在小平邦彦的书中，以上全部内容只写了不到１页的篇幅．他说：“在本节，我们将对在高中数学中学过的指数函数和对数函数进行严格的论证.”由此可见日本对高中学生和教师是什么样的要求！我比较详细地写了这么多，无非是感到此书言简意骇，而自己教了这么多年的书，其实没有把最基本的东西讲清楚，实在汗颜，所以多写了几句.
下面再来证明对于有理分数幂，幂运算的三条定律也成立．因为证法完全一样，下面只证明第一条：
如果
为正整数，，而，则有
（4）
证明：将上式左方乘次方．因为是正整数，所以可以应用幂运算的第三条定律而有
这里我们用了上面的证明，以及对于正整数幂的指数定律的第一条．
由此可见（4）式左边是方程
的算术根．因此
定理证毕．
为了更好地理解以及教好一个数学问题，一个有效的方法是注意瞻前顾后：我们不妨回忆一下小学生学分数运算的情况.如果有几个分数要处理，最好是先求出公分母，最方便的方法是把几个分母乘起来，如同上面的那样，而不必求最小公分母.作了通分以后，就完全成了分子的正整数运算──分数问题化成了正整数.我们这里也是一样：先乘上次方，就把分数幂的运算化成了正整数幂的运算.可见从原理到方法都是相通的.以上都是“顾后”，再说“瞻前”.我们讲的幂运算与小学讲分数不同之处仅在于乘法变成了乘方，除法变成了开方──这正是对数的思想.如果再进一步，想一下如果对于幂运算没有如此清楚的理解，指数函数该怎么教？岂非把大厦建立在完全靠不住的基础上？对于学生当然不能这样要求，但是作为一个教师，养成这样的瞻前顾后的好习惯，无疑是会得到丰厚的报偿的.但是前面所讲只不过是“体会”：数学里少不了某些只可意会的“体会”，但是终究应该用清晰明确的语言把它表达出来.所以，形式化是不可避免的，是一大进步.下面我们试图把它形式化.
什么是分数？一个烧饼３个人均分，每人得
个.教小学生这就够了.但是对成熟的中学老师，这是不行的.现代对分数的理解，就是把分数考虑成为一个有序的整数对
，其中
.所谓“有序”其实就是说前项是分子，后项是分母，次序不得混淆；就是分母不得为０.但是
是同一个分数，所以在这类有序的整数对的集合里需要引入一个等价关系：若
适合关系式：
就说这两个有序的整数对等价，并且记作
确实是一种等价关系，因为它具有以下三条性质：
1.自反性：
2.对称性：若
则
3.传递性：若
而且
则
这些性质都不再证明了.
以后就称这个等价类为一个分数，并且把记作
若
则说
以上所述全都可以在一本较完备的现代代数教本里找到，是每一个大学数学系的学生都应该学过的（或者可以容易学懂的）.因为手边没有参考书，就不再指出出处了，而是回到分数幂问题上来.
回到用于定义的方程（1）.我们现在不再用这个暂时的记号.但无论如何，这个方程的解（存在和唯一性问题已经解决了）总是
的函数.因为在整个过程中一直没有变动，所以这个函数可以写作
但是，定理2告诉我们它其实是
所成的等价类的函数，所以应该写成
当然最自然的记号应该是，因为当
而就是正整数时，我们一直用的记号是
可见这不但不是暂时的记号，而且是只能使用这个记号.