瑞士药妆店:读欧拉的《微分学引论》的两点启示

Euler（欧拉）（转译自英文版Foundations of differential calculus/Euler；translated by John D.Blanton，©2000 Springer-Veriag New York，Inc.）

沈阳体育学院教育技术中心  李长白译2002年6-8月

2003年7月6日星期日校对完毕

7月19日又校对

序言

什么是微积分，以及更一般地说，什么是无穷小分析？恐怕很难对没有这方面的知识的人解释清楚。在这里，我们也不打算象在其他的学科中那样，在论述的开始就给出定义。这当然不是说微积分还没有明确的定义，而是为了理解定义，必须先理解一些概念。除了通常使用的那些概念而外，还有一些从有限分析而来的但是又不很常见的而且通常是在微积分的高级课程中才予以解释的说法。因此，在有效地清楚地了解这些原则之前不可能理解它的定义。

首先，微积分涉及的是变量。虽然所有的数量都可以无限制地自然地增加或减少，但是由于微积分有特定的目的，所以研究某个过程时，我们常常认为某些数量是恒定的，即其数值是常量；而另外一些数量则在这个增减过程中始终是变化的。我们注意到它们的区别，把前者称为常量，后者称为变量。这些特殊的区别不是由事物的特性决定，而是要由微积分中规定的特定的具体的问题所决定。

为更清楚地说明常量和变量的区别，让我们考虑装有火药的大炮发射炮弹的情况。看来这个例子特别适合澄清它们的区别。这里涉及很多数量：首先，是装的火药的数量；然后是大炮与水平方向的仰角；第三，炮弹飞行的距离；第四是炮弹在空中飞行的时间。另外，如果在整个实验中大炮不是相同的，我们就还需要计算炮管的长度和炮弹头的重量。但是这里我们不考虑大炮和炮弹头的变化，以免使问题过于复杂化。于是如果我们使装药量始终相同，则炮管的高度（仰角）连续地改变将影响炮弹飞行的距离和在空中停留的时间。在这种情况下，装药量，或者说爆炸的推力将是常量。而炮管的仰角、炮弹飞行的距离及其在空中飞行的时间是变量。如果对我们而言，与炮管仰角的每一度（改变）相应的其他的量都已经是确定了的，则我们就可以记下在将来可以作参照之用的数量，即当不同的仰角时炮弹飞行的距离和时间的变化。（这）还可以变成另一个问题：假设炮管的仰角不变，但是装药量不断变化。于是需要确定的是飞行中发生的变化。此时炮管的仰角是常量，而装药量、炮弹飞行的距离和时间则是变量。这回我们就明白了，当问题有变化时，需要注意区别哪些数量是常量，哪些数量是变量。同时，这个例子还提示我们必须更注意变量之间的依赖关系。当某一个变量变化时，则其他的数量也必然随之改变。例如在第一个例子中，如果装药量保持不变，而炮管的仰角改变，则炮弹飞行的距离和时间都要变化。因此，炮弹飞行的距离和时间都是依赖于仰角的变量；如果炮管的仰角改变了，则其他的数量也同时改变。而在第二个例子中，炮弹飞行的距离和持续的时间依赖于装药量的变化，所以装药量的改变必然引起其他变量的某些改变。

当一些数量以这样的方式依赖于其他一些数量，即当后者发生变化的时候，它们也随着发生变化，我们就称为这些量为函数。这个定义应用很广，包括所有可以由其他的量确定的量。因此，如果把x假设为变量，则以任何方式依赖于x或由x确定的其他量都称为x的函数。例如x的平方即x²，或x的任何次方，当然也包括其组成中有x的乘方的数量，甚至超越函数。一般来说，无论以怎样的方式依赖于x，只要x增加或减少，函数也就变化。从这个事实引出一个问题，就是当变量x增加或减少的时候，函数如何变化，是增加还是减少？在比较简单的情况下，这个问题是容易回答的。如果自变量x增加了一个数量ω，则它的平方x ²得到的增量是2xω+ω²。于是，如果用x的增量去比x ²的增量，结果是ω比2xω+ω²，也就是1比2x+ω。我们可以类似地计算出x的增量与它所决定的x的任何函数的增加量或减少量的比值。关于增量的比值的研究不但非常重要，而且事实上它是整个无穷分析的基础。为了把它说得更清楚，让我们再一次考察x ²这个例子，在x的增量是ω时，它的增量是2xω+ω²。我们已经看到它们的增量的比值是2x+ω比1。由此可以很清楚地看出，增量越小，其比值就越趋近于2x比1。但是，在增量ω完全消失之前，它的比值不可能达到2x。由此我们能够理解如果变量x的增量变为0，则x ²的增量也会消失。但是增量的比值却是2x比1。这里我们所说的是x的平方函数，但是应该理解这个结果可以适用于x的其他所有函数；即当函数的增量随x的增量的消失而消失的时候，它们的增量之间却仍然存在特定而且确定的比值。这使得我们可以这样定义微分：它是一种确定任意的函数的消失的增量与相应的自变量的消失的增量之间的比值的方法。（斜体字在英文中也是斜体字。我把它们加粗了。李长白注。下面同此。）微分的真正的特点已经被这个定义所包括，而且可以据此进行充分的演绎推理。对这个问题而言，对此不陌生的人会清楚地了解的。

因此，微分涉及的不是这种消失的增量——它们（增量）确实是无，而是涉及它们的比值以及有关的相互的比例。由于这些比值表示为有限量，我们必须认为微分涉及的是有限量。虽然由这些消失的数量确定的数量可以用通常的方法讨论，但是从更高的观点看，它们都是从演绎推出的比值。类似地，积分可以非常方便地定义为一种从已经知道函数的消失的增量的比值，求出原函数的方法。

为使这些比值在微积分中更容易地归结和表示，这些消失了的增量通常仍然应该用特定的符号表示，虽然它们已经是真正的无。看来没有理由不给这些符号以特定的名称。它们被称为微分。又由于它们没有任何数量，所以它们也被称为无穷小量。因此，根据它们的本质，它们被解释为绝对的什么也没有，或者认为它们等于无。这样，如果给变量x一个增量ω，则x就变成x+ω，它的平方x ²就变成x ²+2xω+ω²，相应的增量则是2xω+ω²。因此x自身的增量是ω，而与它的平方的增量2xω+ω²的比值是1比2x+ω。而在最后（按照英文，应该翻译为“至少”，但是我怀疑多印了一个字母e。即我认为应该是at last，但是书中是at least。李长白注），当ω消失的时候，这个比值减少为1比2x。让ω=0，则在微分中涉及的这些消失的增量主要部分的比值就是1比2x。另一方面，这个比值不是真正的（准确的）值，除非增量ω消失了，变得绝对等于0。因此，如果用ω表示的x的增量是无，由于它的平方x ²的增量与x的增量的比值是1比2x，而它的平方x ²的增量等于2xω，因此它也等于0。虽然这两个增量同时消失了，却不妨碍把它们的比值确定为1比2x。而对于这里使用字母ω表示的无，在微分中我们使用符号dx表示，并且把它称为x的微分，因为它是变量x的增量。当我们使用dx代替ω的时候，x ²的微分变为2xdx。用类似的方法，x的立方x ³的微分将等于3x ²dx。一般来说，量x ⁿ的微分将等于nx ^n-1dx。无论关于x的其他函数是怎样表示的，微分学都给出了找出它们的微分的规则。尽管如此，我们必须把它铭记在心里，就是因为这些微分是绝对的无，我们能够计算出的当然也是无，但是它们相互的比值是有限量。于是微分的原则就以这种方式以及与这些原则相符合（的方式）而被建立起来了，而所有的反对意见则自然而然地消失。但是如果认为如果微分即无穷小量不是完全地消失的数量的话，则有关严密性的争论仍然存在。

对很多讨论微分学的规则人而言，似乎绝对的无和特定的无穷小量有区别，即后者不是完全消失而是保持一定的数量，但是它当然又小于任何指定的数量。在这时，一个正确的反对意见是几何学的严密性被忽略了。由于把这些无穷小量忽略了，已经得出的结论就是非常可疑的。虽然可以认为这些无穷小量的量是非常小的，可是当很少的、或者很多的、甚至数不清的无穷小量被忽略的时候，却可能导致巨大的错误。（还）有一种企图（也）是错误的，即有一种反对意见，利用一些这类例子，其结论是从微积分中以与初等几何同样的方式画出来的。显然，如果在微分学中被忽略的这些无穷小量不是确实的无，则这些量被积累的越多，引起的错误也就越大。如果发生的错误很小，则可以归结为在计算中的某处的错误被其他的错误补偿了，而不是消除了对计算中的错误的怀疑。为说明不是因为有新的错误补偿了别处的错误，让我们固定一个点，我希望把它做为一个清楚的例子，（以说明）这些被忽略的数量必须是绝对的无。在微分学中被讨论的无穷小量在任何方面与无都没有区别。在某些例子中描述的无穷小量甚至比在下面这个事件时——例如灰尘的最小的微粒与高大的山脉、甚至整个地球相比——还要小。如果某个人要计算整个地球的数值，从习惯上很容易允许他的计算有些误差，这误差可以小到一粒灰尘，甚至大到成千上万的灰尘。但是，几何的严格性要求连这样小的误差也不能有，所以反对意见将是简单而强有力的，即在任何压力下都不允许这样做。这样一来，就很难说认为绝对的无和无穷小量有所区别的认识可能有好处。可能他们害怕当它们完全消失的时候，则它们的比值也消失了，而他们感觉到正是这个比值引导出了这个事业。他们公开承认不可能接受两个绝对的无能够进行比较的说法。他们认为必须留下某些数值以便进行比较。他们不得不承认在微分学中的这些数值非常小，看起来象是无而且可以被忽略而没有误差。他们不敢指定任何特定而明确的数值，即使这个数量非常之小。以至在他们处理无穷小量的两倍或三倍的时候，也总是以同样的方式去比较。但是（从微分学中），很明显的是给出无的数值仍然需要比较，而且甚至在（进行比较的）数值完全消失的时候它们的比值并没有消失。

综上所述，现在已经很清楚了，就是在微积分中有着利害关系的比值将不是正确的，除非那些增量完全消失。我们已经使用符号ω表示的x的增量，与它的平方x ²的增量即2xω+ω²的比是1比2x+ω。但是它总是和1比2x有差别，除非ω=0，而如果我们令ω=0，我们就能说这个比值准确地等于1比2x。同时也必然能够理解增量ω变得越小，比值就越接近（准确值）。下面随之而来不但是正当的，而且是自然的，就是在开始考虑这些增量时，它们是有限的数量，如果需要画图的话，则在图中也是这样，即它们被表示为有限的数量。但是由于这些必然被涉及的增量将连续地变得越来越小，按照这种方式，它们的比值将表示为连续地逐渐趋近于一定的极限，并且在最终当增量变成绝对的无的时候达到这个极限值。这个极限值即这些增量的最终的比值才是微分学的真正的对象。因此，这个比值必然被视为微分学的牢固的基础，这对任何用心深入思考这些增量的最终的比值的人而言都应该是如此，这个比值由于这些变量的增量连续地越来越减少而逐渐被趋近，并且最终达到。

我们发现古代就有一些作者已经具有这些思想的端倪，所以我们不能否认至少他们已经有了关于无穷小分析的某些概念。这些知识逐渐地增长，而不是突然地到达现在已经知道的顶点。甚至在现在，我们也能够清楚地看出在其中还有很多模糊之处。微分学已经扩展到所有的各种函数，无论它们是如何产生的。当然人们不是立刻就懂得微分学的方法就是比较所有各种函数的消失的增量的比值，而是逐渐地把这个发现扩展到更多的和更复杂的函数。例如，在牛顿（Newton）和莱布尼茨（leibniz）以前很久，（有人就已经发现）比例函数，即正在消失的增量所达到的极限是可以赋值的，于是只能认为在这个时候就已经发明了只能使用于这些函数的微分学。但是毫无疑问，牛顿弄清楚了涉及了无理函数的微分学。这可以从他的令人惊叹的关于二项式的乘方的展开式很好地推断出来。随着这个令人惊奇的发现，微分学的界限有了惊人的扩展。某种程度上在微积分中，我们也受惠于莱布尼茨。那时候微积分被看成是个人的小聪明，而他把它们整理成一个学科，把规则系统化，并且给出了非常明白的解释。由此微积分的发展得到巨大的帮助，而一些公开征询答案的问题则是借助特定的原则求出的。不久，经过莱布尼茨和伯努利（Bernoullis）的研究，微积分的范围甚至扩展到对超越函数之中的一部分也进行了讨论。随之，积分学的基础也坚实地建立起来了。他们都是在这个领域继续地苦心研究，取得了进步。恰恰是牛顿给出了积分学的非常完全的论文，但是在它刚开始被发现的时候，很难把它从微分学中分离出来，也不能绝对地归功于他。由于微积分的更大部分有待发展，不宜说微积分（在那个时候）已经被绝对地发现了。对他们使微积分更趋完美所做的努力，我们每个人都应该有感激之情。这就是我对关于微积分的发现的荣誉归属的争论所做的判断，而对此一直存在着激烈的争论。

不同的国家的数学家习惯把微积分称做什么并不重要，重要的是他们都同意这个杰出的定义。无论他们把消失的增量的比值称为微分还是流数，它们总是被理解为等于0，而这正是无穷小量的真正的含义。由此可以进一步思索第二阶以及更高阶的微分，这与其说是出于好奇，不如说出于有用，它也使某些事情更清楚了，即当任何事物都消失的时候，我们更应该考虑它们的相互的比值而不是考虑它们各自的量。因为诸函数（和相应的自变量）的消失的增量的比值也被表示为某个函数，所以如果后来的这个函数与相应的自变量的消失的增量相比较，其结果必然被认为是二阶微分。这样，我们可以理解扩展到更高阶的微分，同样，它们总可以被认为是真实的有限量，这是对它们的仅有的又恰当的表达方式。初看起来，对无穷所做的分析的大部分描述是浅显的和非常无效的，也很难对无穷小量的含糊的说明做出更多的解释。真实的情况是，如果任何函数与相应的自变量的消失的增量的比值能够很容易地理解的话，则这个知识会非常经常地被认为是极度重要的，而且被频繁地应用在大量的艰苦的研究中，如果没有它几乎没有什么事情能够被清楚地理解。例如，如果问题涉及的是大炮的炮弹的运动，则必须知道空气的阻力，当然还需要知道起始时路径的方向和速度，因为阻力依赖于它们，以便求出炮弹运动的距离。但是，这是随着时间变化的。不过，炮弹经过的距离越短，变化就越小，也就更可能容易地求出真实的关系。实际上，如果我们让距离消失，则由于在这种情况下，方向的差别和速度的变化也都消除了，于是在时间线的一个点所产生的阻力的效应以及在路径上的变化都能够准确地确定。如果我们已经知道了它们之间的相互关系在一瞬间的变化，则我们就得到了很多，虽然这时的数量确实是无。更进一步，积分学是研究在有限的空间里的运动的变化的。依我的意见，不需要再说明微分学和无穷分析的应用，因为现在有了成功的记载，甚至粗略的调查也能够说明这一点。而如果我们想要更仔细地研究固体或液体的运动，没有无穷分析是不可能完成的。当然，在企图准确地说明某些事情的时候，这门科学也经常不能有效地起作用。尽管如此，在数学的所有的分支中，这门高等分析甚至贯穿到这样的程度，以至没有它的帮助任何事情都无法解释。所以必须尊重它，虽然它简直是“什么也没有”。

在本书中，我建立了整个的微分学，从真实的原则出发进行了推导，并且以这样的方式进行了发展，即迄今属于这方面已经被发现（的东西）无一被忽略。本书分为两部分，在第一部分，在设置了微分学的基础之后，我提出了各种函数的微分方法，以便不但能够找出一阶微分，而且能够找出更高阶的微分，它们可以应用于一个变量、两个变量以及更多变量的函数。在第二部分，我充分地发展了微分学的各种应用，包括有限分析和级数的研究。在这部分里，我还对有关极大和极小的理论给出了非常清楚的说明。对微分学应用于几何领域的平面曲线，我没有提出新的东西，而且需要也比较少，因为在其他的著作中我已经很充分地处理过这个问题。即使特别小心，我提出的微分学中的第一批原则也是很难有效地发展的，因为对这门科学而言，它们是从几何画出的图形（中推出的）。而在这里，一切都保持在纯粹的分析的范围之内，所以关于微分学的原则的解释不需要任何几何图形。

                                          欧拉

       （英）译者导言

1748年欧拉（Euler）出版了《Introductio in Analysin Infinitorum》，它已经被翻译成《无穷分析引论》，两册（此书的中文版已经由山西教育出版社出版。李长白注）。它被认为是欧拉的“precalculus”（微积分学预备知识）。1755年他出版了《Instituriones Calculi Differentialis》。它分为两个部分。第一部分是微分学的理论，而第二部分涉及的是微分学的应用。第一部分由前面的九章组成，第10章到第27章为第二部分。此处我翻译了第一部分，也就是把前九章从拉丁文翻译成英文。其余部分则是将来的课题。

这个译本依据的是Gerhard Kowalewski编辑的《Opera Omnia》第Ⅹ卷。在翻译过程中得到Kowalewski的指导。

欧拉的符号已经非常现代化。但是在某些章节，我还是把他的符号改得更符合现代的习惯。例如，他经常写的xx，我改为x ²，而把lx改为lnx，tangx改为tanx，coscx改为cscx，cosx ²改为cos ²x。我还把他的一部分推导的符号也改为现代通用的符号。他的“依赖于圆的超越量”则改为“三角量”。

我感谢助理编辑…

                                 John D.Blanton

第三章          关于无穷大量和无穷小量

    (本章的83-88节的译文参考了了李文林主编《数学珍宝》科学出版社1998年第1版p.327-330)

72、因为任何数量，不论它多么大，总还可以增大，并且没有障碍可以阻止把另外一个相似的数量和它相加，所以每一个数量都可以无限制地增大。更进一步，也没有一个数量能够大得使人无法设想比它还大的数量，所以毫无疑问，任何数量都可以增大成为无穷大量。如果有人企图否认这一点，他想给出某些不能增大的数量，他就需要使得这些数量不能再加上任何数量。这显然是很荒唐的，而且关于数量的规则也排除了这种可能性。他必须承认所有的数量都能够无限制地增加，也就是说能够增加到无穷大。

73、对于每一种数量，这都是很清楚的。如果有人宣布，自然数列1，2，3，4，5，6，…存在一个极限，此后不再继续（有自然数），那他是没有办法为自己辩护的。当然也没有这样的数，它不能被加1而得出随后的也更大的一个数。因此，自然数列是继续的，无限制的，不可能增大到某些很大的数，以致其后就没有更大的数。同样的，直线也不能够在被伸展到某一点后就不能再伸展。由此即可以明白不论是整数还是直线都能够增加到无穷大。不论什么种类的数量，也不论它们多大，都能够变得更大更大，而且可以无限制地增大，也就是可以增加到无穷大。

74、虽然这些事情已经足够清楚，以至任何想否认它们的人都必须自己反驳自己，但是很多人在尝试解释关于无穷大量的理论时仍然存在很多困难，甚至碰到很多的矛盾，这些矛盾往往无法自己解决。由于一个数量能够增加到无穷大，有些人得出结论：存在一个确实的无穷大量，而且他们使用这样的方式描述，即它不能够再增加。但是由于他们认为存在这样一种不能够再增加的数量，他们就推翻了关于数量的一个常识性的观点。而且他们承认的这种无穷大的数量会自相矛盾；当他们给一个数量的增加的可能性画了句号，他们同时也就否认了这个数量能够无限制地增加，因为这两个（看来不同的）说法说的是同一件事情。这样他们在承认无穷大量的时候，他们又同时否认了它。当然，如果一个数量能够无限制地增加，直到无穷大，也就不可能有限定的无穷大量存在。

75、看来，从任何数量都能够增加到无穷大这个事实出发，随之而来的是没有无穷大量。一个数量将随着添加某个增量而不断地增加，但是不能变成为无穷大，除非是无限制地增加。但是，只是无限制地增加不一定成为无穷大。尽管如此，不但可以给出这样的无限制地增加的数量，它具有某些特点，因而应该小心地把它引入微积分中，如同我们即将详细地看到的那样，而且确实存在着真实的情况，至少会涉及这样的情况，在其中无穷大量是真实地存在的。例如，如果有很多现象，在其中事物被是无限制地可分的，正如很多哲学家所坚持的那样，则在这种连续的事物的各个部分的数目就是真正的无穷大。当然，如果主张数目是有限的，则事物就不是无限制地可分的。类似地，如果这个世界是无穷的，如同很多人认为的那样，则构成世界的物体的数目当然不能是有限的，而应该是无穷的。

76、虽然看来这里有矛盾，如果我们细心地考虑，还是可以从所有这些困难中解脱出来。有人主张某些事物是无限制地可分的，否认对事物的连续分割会导致到很小的部分以至不能够再继续分割。这样一来这种事物就没有最后的不可分的部分，因为被连续地分割所得到的不可分的粒子必须能够被进一步地细分。所以在这种情况下，无论谁认为这一部分的数目是无限的，同时又把这最后的部分理解成是不可分的；则他企图数出这些部分将是不可能的，因此也是不存在的。如果某些事物能够被进一步细分，它就没有不可分性或没有绝对的单一的部分（单子？）。由于这个理由，如果谁主张某些事物能够被无限制地细分，则他就否认了这些事物是由单一的部分（单子？）组成的。

77、很久以前我们已经谈及某些物体或物质的部分，我们理解没有最后的或简单的部分（单子），因为那是什么也没有，而它们是由实际的分割产生的。于是，由于前提是我们承认无限可分的物质，甚至物质的很小的颗粒也可以被分解为很多的部分，但是无法给出那个数目，因为它比从那个颗粒切割下来的部分的巨大的数目还要更大的数目不存在。所以一个不是最后的部分的数目仍然可以进一步分割，而所得到的物体（的数目）将比任何给出的数目更大。同样，如果整个世界是无限的，则构成世界的物体的数目就比任何指定的数目更大。因为这不是有限的数目，随之而来的是无穷的数目以及比任何指定的数目更大的数目。其实这是用两种方式说同一个事情。

78、任何人如果从上面的讨论推出物质有无限制的可分性的见解，则将要承受困难，即面对人们通常对此所持的观点。他将被迫面对看来是相反的理由。另一方面，任何人如果否认物体是无限制地可分的，他也将发现他自己处于严重的困难之中，无法解救自己。这些最后的颗粒被称为原子，或单元，或单体。其理由是这些最后的颗粒由于两个理由而不能被再分割。第一个理由是它们不再具有延展性，第二个理由是即使它们能够被延展，由于它们这样坚硬、不能分解所以不可能有力量成功地分开它们。结果无论哪种选择都置人于相同的困难的处境。

79、假设最后的颗粒没有任何延展性，则它们就没有更精细的部分。根据这个解释，单体的思想可以很好地被接受。但是，物体能够被这一种类的有限数目的颗粒组成简直是不可能的。假设1立方英尺的物体有一千个的这种物质的单体构成，然后把它精确地切成一千个个体。如果这些个体是相等的，它们中的每一个就是1/1000立方英尺（1立方英寸）；如果它们不相等，则有一些大一点，有一些小一点。一个1立方英寸的物体将是一个单体，由此我们将面对更大的矛盾，除非偶然，我们将希望说只有一个单体，而其余部分空间则是空的。但是这样一来物体的连续性将被否定，除非哲学家从世界里完全排除真空。如果有人提出一立方英尺的物质包含的单质的数目比一千多得多，也没有更大的意义。任何由数目是一千所导致的困难将同样出现在其它的数目中，无论它多么大。单体的发现者，非常敏锐的莱布尼茨（Leibniz）深入地研究了这个问题，最终结论说物体是无限制地可分的。因此，在物体被确实地无限制地分割之前，不能说已经达到了单体。由于这个有力的事实，构成物体的单体的存在被完全地否定了。他否定物体是由单质构成的，他又主张物体是无限制地可分的，这其实是一回事。

80、如果他们说物体的最后的粒子仍然可以延展，但是由于硬度的原因而无法把它们弄碎，对他们也没有什么帮助。由于他们承认最后的粒子有延展性，他们就承认粒子是合成的。它们能否被分开所导致的差别很小，因为他们可以说硬度是不用解释的。但是在更大的程度上，他们否认物质的无限可分性看来是强烈地感觉后面的看法的困难，因为通常他们坚持以前的意见。可是他们仍然无法逃避这些困难，除了很少的普通的形而上学特征，这些特征通常努力来保持我们对从数学原则得出的结果的信任。他们不承认单体具有延展性。首先他们将论证这些最终的部分没有延展性，而正是它们以确定的数目构成了物体。

81、因为他们没有能够找出这个迷宫的出路，他们又没有能够以恰当的方式应付反对意见，他们抹杀区别。而对反对意见，他们则以感觉和想象为论据去答复。而在这种情况下，一个人应该只依靠理智，因为感觉和依赖于它们的论据常常是错误的。真正的理智承认1立方英尺的物体被切割成为1立方英寸的物体后，每部分可能是缺乏延展性的，虽然对想象而言这可能是荒唐的。它可能是真的，虽然它常常蒙骗感觉，但是它不取决于任何人，除非是数学家。当然，数学防止我们由于感觉而犯错误，并且教会我们觉察到感觉的欠缺，因为它们有些时候是对的，有些时候只是外表是对的。这才是最安全的科学，它的教导把我们从感觉的幻影中拯救出来。它使（我们）远离那些形而上学者的相应的说法，他们保护他们的教条，从而使它们更可疑。

82、现在让我们回到我们的主题。即使某些人否认在这个世界上真的存在无穷大数，在数学的理论中也有这样的问题，它无法得出答案，除非我们承认无穷大数。例如，如果我们想得到所有的数目的数列1+2+3+4+5+…的和，由于数目的增加是没有终结的，于是和也增加，它肯定不可能是有限的。由于这个事实，它成为无穷大数。这个数是这样大，比任何有限数都大，所以它不能不是无穷大数。为标明这种类型的数目，我们使用符号∞，以表示这个数量比任何有限的或指定的数目都大。这样，当抛物线需要被以这样的方式定义，说它是无穷长的椭圆时，我们就可以正确地说，抛物线的轴是无穷长的直线。

83、如果我们讨论数学家们所谓的无穷小量，就可以对无穷的理论有进一步理解。毫无疑问，任何数量都可以不断减小，直到完全消失，化为乌有。但是一个无穷小量什么也不是，就是一个消失的数量，所以它确实等于0。对无穷小量还有一个定义，就是它比任何指定的数量都小。但是如果一个数量比任何指定的数量都小，则它不能不是0。因为除非它等于0，总是可以指定一个数量等于它，而这就否定了我们的假设。如果任何人想问什么是数学中的无穷小量，我们可以回答它真的等于0。在这个概念中真没有隐藏多大的神秘性，象一般人所以为的那样，这就是无穷小的微积分对这些人的答复。任何遗留的疑惑则将在我们处理微积分的时候被消除。

84、因为我们说明无穷小数量等于真正的零，首先我们必须面对的反对意见就是我们为什么不总是使用0这一个相同的符号来表示无穷小量，而宁愿使用某些特殊的符号。由于所有的无都相等，所以使用不同的符号表示它们看起来似乎是多余的。虽然两个零互相是相等的，它们之间没有区别，但是我们却可以使用两种方式比较它们，即算术的和几何的，让我们观察两个数量的商以比较它们的差别。任何两个零的算术比是相等的。它们几何的比则不然。从几何比例2：1=0：0，我们可以很容易地看出这一点，因为在其中的第四项等于0，如同其中的第三项一样。而从比例的性质，由于第一项是第二项的二倍，则第三项当然是第四项的二倍。

85、但是甚至在普通的算术中，这个事情也是非常清楚的。众所周知，零乘以任何数，其结果总是零，也就是n·0=0，所以n：1=0：0。因此，很清楚的事实是任何两个零可以有几何比，虽然它们的算术比值总是相等的。因为两个零的比值可以是任何数值，为说明这个差别我们必须有目的的使用有区别的记法，特别是在研究两个零的几何比的时候。在无穷小微分中，我们处理的恰巧是无穷小数量的几何比。由于这个原因，在这些计算中，除非我们使用不同的符号表示这些数量，我们再没有办法摆脱这些巨大的混乱所导致的失败。

86、如果我们接受无穷分析中的符号表示法，则dx表示无穷小量，所以dx=0以及adx=0，这里a是任何有限的数量。尽管如此，几何比adx：dx将是有限量，即a：1。由于这个理由，这两个无穷小量dx和adx虽然都等于0，但是在考虑它们的比值的时候不能把它们混淆。我们将类似地处理无穷小量dx和dy。虽然它们二者都等于0，但是它们的比值不是相等的。当然，微分学的全部威力就是为了研究这一类的任意两个无穷小量的比。初看起来，这种比较的应用是最小不过的。但是它随着岁月的流逝，它的应用将变得非常大。

87、既然无穷小量确实是无，那么十分清楚，当一个有限量加上或减去一个无穷小量的时候，它即不增大也不减小。设a是一个有限量，dx是无穷小量，则a+dx和a-dx，或者更一般地，a±ndx都等于a。于是不论我们考虑的是a±ndx和a之间的算术关系还是几何关系，在着两种情景我们都得到相等的数量。事实上，算术量的相等是显然的：因为ndx=0，我们得到

    a±ndx-a=0.

另一方面，几何比的相等也是明显的，因为

    （a±ndx）/a=1.

由此我们得到十分著名的法则，就是与有限量相比，无穷小量消失了，因此可以忽略不计。这样，认为无穷小分析缺乏几何的严格性的说法就失败了，没有分量了，因为除了确实的无之外什么也没有被忽略。因此可以非常公正地说，我们能够坚信，在这门崇高的科学中，我们就象我们在古代著作中所看到的那样保持了几何的严格性。

（*87 的结论似乎是非常显然的。但是实际上这个法则是在一定的条件下才成立的。0.9…≠1的证明说明了这一点。几何比亦然。不过这乃是智者之失。李长白注）

88、因为无穷小量dx确实等于0，所以它的平方dx²，立方dx³，以及任何次方dxⁿ，也将等于0，此处n是正整数，因此当它们与一个有限量相比时将消失。但是，甚至当无穷小量dx²与dx相比时也将消失。dx±dx²与dx的比值是相等的，无论是算术比还是几何比。前一种比较是无可非议的，至于几何比，有

    dx±dx²：dx=（dx±dx²）/dx=1±dx=1。

同样地，我们将得到dx±dx³=dx，更一般地，dx±dxⁿ=dx，只要n是正数。当然几何比dx±dxⁿ⁺¹：dx等于1+dxⁿ，而因为dxⁿ=0，这个比值应该是相等量的。因此，象通常的幂一样，我们称dx为一阶无穷小量，dx²为二阶无穷小量，dx³为三阶无穷小量，等等。很显然，高阶无穷小量与一阶无穷小量相比较时将消失。

89、类似地，一个无穷小量的第三阶或更高阶与它的第二阶相比时也将消失。一般地，一个任何高阶的无穷小量和它相应的低阶无穷小量相比时都将消失。于是，m如果小于n，则

    adx^m+bdxⁿ=adx^m，

因为正如我们已经说明的，dxⁿ与dx^m相比将消失。对分数指数而言亦是如此；dx与√dx或dx^1/2相比将消失，所以

        a√dx+bdx=a√dx。

而如果dx的指数是0，我们得到dx⁰=1，虽然dx=0。因此乘方dxⁿ在n=0的时候等于1，而如果n大于0的时候它就从有限量变成无穷小量。

所以应该存在无穷阶的无穷小量。虽然它们都等于0，但是当我们注意的是它们的相互关系，即通过几何比解释它们时，仍然必须小心地区别它们。

90、一旦我们建立了无穷小量的概念，就可以很容易地讨论无穷小量或无穷大量的性质。首先我们注意分数1/z在分母变小的时候其值变大。因此，如果分母z变得比任何指定的数量还要小，也就是无穷小量，则分数1/z的值必然变得比任何指定的数量还大，也就是无穷大量。由此，如果1或任何有限量被某些无穷小量或0去除，商数将是无穷大的，即无穷大量。而因为符号∞表示无穷大量，我们就得到等式

       a /dx =∞。    

利用上面的等式，我们还可以逆推出下面的式子亦为真：

       a /∞= dx =0。

在分数a /z中，分母z的值越大，分数的值就越小，这是当然的。所以如果分母z变成为无穷大量，也就是z=∞，则分数a /∞的值就必然成为无穷小量。

91、任何否认上面的论证的人将会发现自己陷于困境，因为这将导致否认分析中的许多确定的原则。如果某个人声称分数a /0是有限的数量，例如等于b，则当我们把等式的两端都乘以分母，得到的是a =0×b。于是有限量b乘以0得出的竟然是有限量a，这显然是荒唐的。如果分数a /0的值是有限量；但是又等于0（显然也不行），因为没有任何方法使0乘以0得到有限量a。另外，任何人如果否定a /∞=0，他就必然说a /∞=b，即一个有限量，则必然由于引起这样荒唐的结果而导致失败。（因为）从等式a /∞=b，我们将合法地推出∞=a /b，但是由此我们推出的结论将是分数a /b的分子和分母都是有限量，其结果却等于无穷大量。这当然也是荒唐的。所以分数a /0和a /∞的值并不复杂，因为分数的分子是有限量而分母的值再复杂也不过就是无穷大量或无穷小量。

92、上面我们已经讨论过的只在无穷分析中被涉及的无穷大量，可以被更好地定义，即无穷大量是有限量被无穷小量去除而得的商数。反之，我们可以说无穷小量是有限量被无穷大量去除而得的商数。因为我们已经知道无穷小量的几何比是有限量，而有限量比无穷小量是无穷大量，以及无穷大量比有限量是无穷大的，有限量比无穷小量是无穷大的。所以虽然有人反对，但是我们将不再放弃这些说法，因为它们是根据非常确定的原则得出的。更进一步，从等式a/0=∞，可以推出零乘以无穷大量会得到有限量，这个结果看起来很古怪，因为看来它不是非常清楚地演绎的结果。

93、在我们考虑无穷小量的几何比的时候，我们发现它们的差别非常大。在我们比较无穷大量的时候，它们的差别甚至更大，因为它们不仅仅是几何比有差别，它们的算术比也有差别。假设A是有限量a被无穷小量dx去除而得出的无穷大量，则a/dx=A。类似地，2a/dx=2A，而na/dx=nA。现在，因为nA是无穷大量，所以两个无穷大量的比值可以是任何值。于是无穷（大）量被有限量乘或除，其结果仍然是无穷（大）量。没有人能够否认无穷大量仍然可以继续增大。容易看出，如果两个无穷（大）量的几何比不相等，则由于它们的差总是无穷大，所以它们的算术比很少是相等的。

94、尽管很多人接受无穷的思想，而且我们已经把无穷应用于数学中，仍然有一些人心有怀疑，并且因此认为应该拒绝无穷分析，甚至在我们离开它就无法进行运算的数学的某些部分也应该如此。在算术中，对数理论已经发展了，零的对数被说成是负的无穷大。所以甚至没有一个人敢于在心里认为这个对数的值是有限的或者等于零。在几何以及三角学中，这一点更清楚。谁能否认直角的正切函数或正割函数的值是无穷大呢？而由于同一个角的正切函数和余切函数构成的长方形的面积等于半径的平方，而直角的余切函数的值等于0，所以甚至在几何中也必须承认零和无穷大的乘积能够是有限量。

95、由于a/dx得到的是无穷大量A，很显然A/dx是比无穷大量大无穷倍的量。这能从下面的比例式a/dx：A/dx=a：A，看出它等于有限量比无穷大量。所以无穷大量之间可以存在这样一种关系，其中一些比其他的无穷大量要大无穷大倍。于是，a/dx²是比a/dx大无穷大倍的无穷大量；如果设a/dx=A，则a/dx²=A/dx。类似的，a/dx³是比a/dx²大无穷大倍的无穷大量，当然也比a/dx大无穷大倍。于是我们就得到无穷大量的阶，其中每一个都比前面的无穷大量大无穷大倍。如果数量m比n数量大一点，则a/dx^m就是无穷大量，而且比无穷大量a/dxⁿ大无穷大倍。

96、在无穷小量中存在几何比不同而算术比则总是相等的情况，无穷大量之中则存在几何比是相等的量，但是其算术比却不相等的情况。如果a和b是两个有限量，则相应的两个无穷大量a/dx+b和a/dx的几何比表明它们两个是相等的；第一项被第二项除的商数是1+bdx/a=1，，因为dx=0。但是如果把它们从算术方面进行比较，由于差是b，它们的比值是不相等的。类似的，a/dx²+a/dx和a/dx²的几何比看来是相等的；把比值表示出来，就是1+dx=1，因为dx=0。另一方面，它们的差是a/dx，所以差是无穷大量。所以，在我们考虑几何比的时候，当低阶的无穷大量和高阶的无穷大量相比的时候将消失。

97、但是关于无穷量的阶，我们需要提出警告，因为我们即将看到无穷大量和无穷小量的乘积不但可以是有限量，如同我们已经知道的，而且还可能是无穷大量或无穷小量。如果无穷大量a/dx乘以无穷小量dx，其积将是有限量a。但是如果a/dx乘以无穷小量dx²或dx³，或其他更高阶的无穷小量，其积将是adx，adx²，adx³，等等，它们是无穷小量。同样的，我们将能够理解无穷大量a/dx²乘以无穷小量dx，其积将是无穷大。一般地，如果a/dxⁿ乘以bdx^m，其积abdx^m-n将是无穷小量，如果m大于n；其积将是有限量，如果m等于n；其积将是无穷大量，如果m小于n