偶看新闻理查德诺顿电影:反证法=逆否命题？
来源：百度文库 编辑：偶看新闻 时间：2024/07/05 16:42:03
反证法=逆否命题？
山东省金乡县第一中学 李美艳 2011年7月20日 10:54
高德方于11-7-20 15:05推荐从理论上阐述了反证法和逆否命题的关系，值得一读。张蕴禄于11-7-21 08:44推荐确实有许多人认为“反证法就是证逆否命题”，也有多篇文章从不同角度分析这一观点的真伪。李老师的分析有一定高度，很好的解答了老师们的一些困惑。反证法最初出现在初中平面几何的证明中，在高中阶段体现在数学选修2—2推理与证明中的间接证明中，是数学中常用的间接证明方法之一；逆否命题属于选修2-1常用逻辑用语的四种命题的内容， 逆否命题和原命题的关系是逻辑初步最重要的内容之一，当我们直接讨论某命题的各种形式及其相互关系和等价性有困难时，可以改去研究它的逆否命题(等价命题)．这就给命题的研讨和证明开辟了一条广阔的道路。有些学生认为反证法就是证明原命题的逆否命题，实际上,这种看法是错误的。
我们先把反证法研究透彻：
反证法（又称归谬法、背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法的所依据的事逻辑规律中的矛盾律和排中律。反证法是证明数学命题的一种间接证法，在数学命题的证明中占有非常重要的地位,牛顿曾经说过:反证法是数学家最精妙的武器之一.反证法在许多方面都有着不可替代的作用.它以其独特的证明方法和思维方式在培养逻辑思维和创造性思维上有着重大的意义.
反证法的步骤
（1）反设：假设命题的结论不正确，即假设结论的反面正确；
（2）归谬：从这个假设出发，利用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
（3）结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
利用反证法时应该注意：①必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证法都是不全面。②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理就不是反证法。③矛盾可以是多方面的,可以与已知条件，已知的公理、定理、定义、性质、法则及明显的事实矛盾,也可以与反设的结论自相矛盾,
像大家耳熟能详的“道旁苦李”的故事就是典型的反证法的妙用，诸如此类的典故不一而足。在中学数学易用反证法的范围主要包括代数、三角、立体几何、解析几何中有关的否定性命题、限定性命题、逆命题、无穷性命题、某些存在性命题、全称肯定性命题，一些不等量命题的证明及简单命题。像√2是无理数，素数有无穷多个等。
下面我们再看看逆否命题。
逆否命题：互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题
原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立． 逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命题也真。命题同它的逆否命题等价是作为公理存在的.互为逆否的两个命题，真则同真，假则同假。由此可以得出，要证明一个命题为真，如果直接证明有困难或太繁时，可以转而证其逆否命题为真。要知相关的四个命题的正确与否，只须证明互逆或互否的两个命题就够了．如果一真一假，必定两真两假；如果两真(假)，必定四真(假)．至于选哪两个去证，当然是择其易者而为之了．当我们学习了一个定理或者证明了一个命题为真后，自然地会联想到它的逆命题(或否命题)是否正确?如果证明其也真，就推出了新定理，如果是假，也加深了对原命题的理解．因此，我们应该养成这种推陈出新，提出新问题，甚至发现新定理的良好学习习惯．
综合以上 反证法和逆否命题的概念和运用，我们不难得出，反证法≠逆否命题。当反证法归谬证明中利用演绎推理推证出和已知条件矛盾从而得出原命题成立时，即是利用了 逆否命题和原命题的等价关系，否者反证法就与逆否命题无关。