印度冬天多少度:难点27 求空间的角 888、三发炮弹拯救红军：开国将帅之炮神赵章成

难点27  求空间的角

空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.

●难点磁场

(★★★★★)如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.

 (1)求证：MN分别与α、β所成角相等；

(2)求MN与β所成角.

●案例探究

［例1］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.

(1)求证：四边形B′EDF是菱形；

(2)求直线A′C与DE所成的角；

(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.

命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.

知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.

错解分析：对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面.

技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.

(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′= a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG AB A′B′知，B′EGA′是平行四边形.

∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形.

∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面

故四边形B′EDF是菱形.

 (2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，

则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.

在△A′CP中，易得A′C= a，CP=DE= a,A′P= a

由余弦定理得cosA′CP=

故A′C与DE所成角为arccos .

 (3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.

又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，

故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′

在Rt△B′AD中，AD= a，AB′= a,B′D= a

则cosADB′=

故AD与平面B′EDF所成的角是arccos .

(4)解：如图，连结EF、B′D，交于O点，显然O为B′D的中点，从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心.

作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，

再作HM⊥DE，垂足为M，连结OM，则OM⊥DE，

故∠OMH为二面角B′—DE′—A的平面角.

在Rt△DOE中，OE= a,OD= a,斜边DE= a,

则由面积关系得OM= a

在Rt△OHM中，sinOMH=

故面B′EDF与面ABCD所成的角为arcsin .

［例2］如下图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA₁长为b,且AA₁与AB、AD的夹角都是120°.

求：(1)AC₁的长；

(2)直线BD₁与AC所成的角的余弦值.

命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属★★★★★级题目.

知识依托：向量的加、减及向量的数量积.

错解分析：注意＜ ＞=＜ , ＞=120°而不是60°,＜ ＞=90°.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

∴BD₁与AC所成角的余弦值为 .

●锦囊妙计

空间角的计算步骤：一作、二证、三算

1.异面直线所成的角  范围：0°＜θ≤90°

方法：①平移法；②补形法.

2.直线与平面所成的角  范围：0°≤θ≤90°

方法：关键是作垂线，找射影.

3.二面角

方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.

注：二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(    )

A.                            B.                 C.                             D.

2.(★★★★★)设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=

∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为(    )

A.30°                         B.45°                         C.60°                         D.75°

二、填空题

3.(★★★★★)已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于_________.

4.(★★★★)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________.

三、解答题

5.(★★★★★)已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2

(1)求PC的长；

(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；

(3)求证：二面角B—PC—D为直二面角.

6.(★★★★)设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=

∠DBC=120°

求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；

(2)异面直线AD与BC所成的角；

(3)二面角A—BD—C的大小.

7.(★★★★★)一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.

(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；

(2)求AD与BC所成的角；

(3)求二面角A—BD—C的大小.

8.(★★★★★)设D是△ABC的BC边上一点，把△ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C′在平面ABD上的射影H恰好在AB上.

(1)求证：直线C′D与平面ABD和平面AHC′所成的两个角之和不可能超过90°；

(2)若∠BAC=90°，二面角C′—AD—H为60°，求∠BAD的正切值.



参考答案

难点磁场

(1)证明：作NA⊥α于A，MB⊥β于B,连接AP、PB、BN、AM，再作AC⊥l于C，BD⊥l于D，连接NC、MD.

∵NA⊥α,MB⊥β,∴∠MPB、∠NPA分别是MP与β所成角及NP与α所成角，∠MNB，∠NMA分别是MN与β,α所成角，∴∠MPB=∠NPA.

在Rt△MPB与Rt△NPA中，PM=PN，∠MPB=∠NPA，∴△MPB≌△NPA，∴MB=NA.

在Rt△MNB与Rt△NMA中，MB=NA，MN是公共边，∴△MNB≌△NMA，∴∠MNB=∠NMA，即(1)结论成立.

(2)解：设∠MNB=θ,MN= a,则PB=PN=a,MB=NA= asinθ，NB= acosθ,∵MB⊥β,BD⊥l,∴MD⊥l,∴∠MDB是二面角α—l—β的平面角，

∴∠MDB=60°，同理∠NCA=60°,

∴BD=AC= asinθ,CN=DM= asinθ,

∵MB⊥β，MP⊥PN，∴BP⊥PN

∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP,∴△BPD∽△PNC,∴

整理得，16sin⁴θ－16sin²θ+3=0

解得sin²θ= ,sinθ= ，当sinθ= 时，CN= asinθ= a＞PN不合理，舍去.

∴sinθ= ,∴MN与β所成角为30°.

歼灭难点训练

一、1.解析：(特殊位置法）将P点取为A₁，作OE⊥AD于E，连结A₁E，则A₁E为OA₁的射影，又AM⊥A₁E，∴AM⊥OA₁，即AM与OP成90°角.

答案：D

2.解析：作AO⊥CB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，

∵AO=OD= a,∴∠ADO=45°.

答案：B

二、3.解析：在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CA⊥OC交OA于A，CB⊥OC交OB于B，则AC=1，，OA= ，BC= ，OB=2，Rt△AOB中，AB²=6，△ABC中，由余弦定理，得cosACB=－ .

答案：－

4.解析：设一个侧面面积为S₁，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为 ，由题设得 ，设侧面与底面所成二面角为θ,则cosθ= ,∴θ=60°.

答案：60°

三、5.(1)解：因为PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB= .

∴PC= .

(2)解：如图，过点C作CE∥BD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为∠PCE或它的补角.

∵CE=BD= ，且PE=

∴由余弦定理得cosPCE=

∴PC与BD所成角的余弦值为 .

(3）证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GF∥BC∥AD，且GF= BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，

又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，即ADFG为矩形，DF⊥FG.

在△PCD中，PD= ，CD= ，F为BC中点，∴DF⊥PC

从而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，即二面角B—PC—D为直二面角.

6.解：(1)如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，

∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知△AHB≌△AHD，则DH⊥BH，AH=DH，

∴∠ADH=45°

(2)∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，

∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°.

(3)过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，AR⊥BD，故∠ARH为二面角A—BD—C的平面角的补角.设BC=a,则由题设知，AH=DH= ,在△HDB中，HR= a，∴tanARH= =2

故二面角A—BD—C大小为π－arctan2.

7.(1)证明：取BC中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，

∵BC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD.

又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB 平面ABD.

∴平面ABD⊥平面ACD.

(2)解：在面BCD内，过D作DF∥BC，过E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂线定理知AF⊥DF，∠ADF为AD与BC所成的角.

设AB=m，则BC= m，CE=DF= m,CD=EF= m

即AD与BC所成的角为arctan

(3)解：∵AE⊥面BCD，过E作EG⊥BD于G，连结AG，由三垂线定理知AG⊥BD，

∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角

∵∠EBG=30°，BE= m,∴EG= m

又AE= m,∴tanAGE= =2,∴∠AGE=arctan2.

即二面角A—BD—C的大小为arctan2.

8.(1)证明：连结DH，∵C′H⊥平面ABD，∴∠C′DH为C′D与平面ABD所成的角且平面C′HA⊥平面ABD，过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面C′HA.

故∠DC′E为C′D与平面C′HA所成的角

∵sinDC′E= ≤ =sinDC′H

∴∠DC′E≤∠DC′H,

∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE=90°

(2)解：作HG⊥AD，垂足为G，连结C′G,

则C′G⊥AD，故∠C′GH是二面角C′—AD—H的平面角

即∠C′GH=60°，计算得tanBAD= .

　 神炮手赵章成，一个中国人民解放军中的大老粗少将。如果他将他精确的弹道计算方法用歪一下，他还会不会跟着红军去长征呢？事或许他就就计算出红军于某时某地全军覆灭了，于是就又带着他的炮跑回国民党那里了。
　　解放军中另一个大老粗上将许世友曾有一番议论：别看有些人说得头头是道，打起仗来却一道不道！
　　如今，赵章成这个名字对人们来说很陌生。即便是在《中国人民解放军将帅名录》中，这个名字在几百名少将中也并不显赫。论军事业绩，他从未指挥过那怕一次小型战役；论军事职务，他最高只在建国后担任过炮兵副司令，而且在几位副司令之中排名最后。论军事造诣，他在解放军的炮兵理论中也没留下什么著述。
　　然而，他却在军史上留下了极为特殊的痕迹。
　　赵章成原本是冯玉祥西北军一部改编的国民革命军二十六路军中的迫击炮手。1931年，二十六路军在赵博生、董振堂、季振同等人的领导下举行宁都起义，改编为红五军团，赵章成随同部队加入了红军。当时红军的武器十分困乏，迫击炮这种步兵伴随武器已经是重装备了。而有迫击炮操作技术的赵章成，很快就成为了当时红军中有限的技术干部之一。但与众不同的是，赵章成又是一位没有文化的技术干部，加入红军时他甚至还是文盲。入党后，赵章成仍然保持着他中国农民式的所谓佛教信仰：不愿杀生造孽与相信轮回转世，在作战开炮前总要祷告一番，说自己是奉命开炮，冤魂不要来找他。长征时赵章成已任红一军团炮兵营营长，但他还是坚持着这个祷告习惯，在当时红一方面军的中级干部中一直传为笑柄，而他的这个习惯直到长征结束后才完全放弃。大概由于需要技术干部和战斗频繁等原因，在苏区残酷的肃反中，赵章成却从没有因为他的这个习惯受到任何的冲击。
　　尽管赵章成没有文化，但在西北军严格的旧式军棍训练下，结合了他自己的天赋和战斗经验，练就了无人能及迫击炮操作技术，在军史上写下了特殊的一笔。普通的六零炮，一旦到了他手中，只能用两个字来形容了：“神炮”！
　　在长征途中，赵章成的迫击炮显示了威力。乌江战斗，杨成武团第一次强渡和夜间偷渡都告失败，第二次昼间强渡，赵章成指挥三门迫击炮的炮兵营进行火力支援。说指挥，实际上是他自己操炮。当强渡部队靠上对岸时，赵章成仅经过简单的目测和一发试射，第二发就准确击中目标，摧毁了对部队威胁很大的敌火力点。接着，他又以准确的炮击打在敌反击部队的冲锋队形中，敌方反冲锋随之溃散，红一方面军渡过了天险乌江。在尔后四渡赤水等战斗中，红军击败的多是西南土著军阀的军队，这些部队装备训练都很差。一位当年参加过娄山关战斗的老将军在看了电影“四渡赤水”中娄山关的场面时说：“这是瞎编，那时贵州军队绝对不敢和我们拼刺刀！”郭天民上将回忆红九军团在过金沙江后单独行动的文章中提到，贵州四川的军阀部队是嗜鸦片的“双枪兵”，装备的多是当地的土造步枪，机枪都很少。这样红军在战斗中难以得到补充，俘虏有烟瘾，不能补入部队；枪支质量太差，与红军的弹药不合。九军团在老木孔战斗胜利后，一次就烧毁了近千支这类土造步枪。这样，红军在经过了四渡赤水、过金沙江等战斗之后，武器弹药的损耗很大，却无法得到补充。当一军团到达大渡河安顺场渡口时，赵章成的手中，只有一门无炮架的迫击炮和三发炮弹了。强渡大渡河，是在长征途中极为壮烈的一次战斗，也是关系到了红军生死存亡的一战，若胜则红军就彻底摆脱敌军的围追堵截，若败红军就是石达开第二。而在今天，凡谈到安顺场强渡的书籍文章，都会提到著名的“十八勇士”，同时也必然提到赵章成和他的迫击炮。
　　安顺场强渡战斗，运载工具只有一条小木船。第一船过河的就是“十八勇士”，领队的是连长熊尚林(抗战时在晋察冀阵亡)，在机枪火力掩护下强行登上了对岸；第二船领队的是营长孙继先(建国后授少将军衔，任山西省军区副司令)，当船到中游时中弹漏水，因敌火力压制造成船工慌乱，偏离方向，一时难以靠近对岸。这时第一批登岸的“十八勇士”被敌机枪火力压制在滩头，岌岌可危。指挥战斗的团长杨得志急令赵章成开炮支援。这时赵章成仅用左手托起没有炮架的炮身，全凭自己的手和经验技术来代替瞄准装置，仅仅三发宝贵炮弹，不可能试射，不允许浪费。在这种困难的情况下，赵章成的三发炮弹，准确无误地及时命中目标，摧毁了敌三个机枪火力点。赵章成的准确炮击，使得“十八勇士”籍此机会夺占了工事，为第二船支援部队靠岸赢得了时间。同时，这三炮对没有重武器装备的川军是极大的威摄，他们并不知红军只有三发炮弹。ň勘蚓迮屡诨鞫纪颂樱烙沟妆览Ａ恕Ｋ婧笱畹弥韭试鲈慷映说谌珊樱菜吵∏慷烧蕉芬院炀淖詈笫だ娼崾?br /> 　　
　　在某些作品中，将赵章成这重要的三炮误记为是夺取泸定桥的战斗。实际上，在泸定桥战斗时，红一方面军全军已再也找不出一发迫击炮弹来了，赵章成英雄无用武之地。
安顺场战斗，令赵章成的名字留在了军史上。然而，这还不是他“神炮”的颠峰之作。最能体现赵章成“神炮”魅力的战斗发生在抗日战争的战场上。
　　在那次战斗中，八路军缴获了三门迫击炮和一批炮弹，但参战部队中竟然没有一个人会操炮，而战斗又急需炮火支援。于是指挥部门急调本不在战场的赵章成快马赶来，并且专门选了六名战士供他指挥。炮击开始，六名从未摸过炮的战士在赵章成的口令指挥下为他的不同目标给炮弹改装不同药包，而赵章成则一个人同时操纵三门炮进行不间断的射击，直到三门炮的身管都打红了。至于炮击的效果，战斗结束后据俘虏供称：当受到炮击时，日军指挥官根据炮火的准确和密度判断，八路军有一个迫击炮排在进行齐射！
　　可想而知，赵章成一个人手下的三门迫击炮，发射的速度、准确度和火力密度已经达到何等高超的水平！在后来的岁月中，很少赞扬部属的林彪，曾对赵章成有一句极为中肯和贴切的评语：“要象赵章成同志那样，使技术达到了艺术的标准。”
　　赵章成为人憨厚随和，与世无争，由于文化低，他对重炮使用和炮兵指挥都比较陌生，知识结构跟不上我军炮兵装备的发展。同时，赵章成的个性和文化修养也使得他不可能成为一个真正意义上的炮兵指挥官。在后来的战争岁月里随着军队的壮大发展和装备的增加，迫击炮逐渐退出了我军炮兵的序列。赵章成也随之淡出了军史。
　　建国后，赵章成被任命为军委炮兵副司令。从一定意义上讲，这对于他是一个荣誉性的职位。尽管赵章成在后来的战争中并没有辉煌的军事业绩，对炮兵这一重要兵种的组织建设也没有十分突出的建树，但经历过长征的军队高级将领，又有谁能忘记在大渡河边他那关键的三炮呢？
　　六十年代的“大比武”运动中，赵章成又一次成为军内的新闻人物。“大比武”的重要内容，就是以树立技术尖子来带动加强全军的军事技术训练。说到迫击炮的操作技术，谁能比得过战火中成名的“神炮将军”？已过花甲之年的赵章成，在“大比武”运动中以炮兵副司令的身份，下到基层连队，与战士们同吃同住，言传身教，传授他炉火纯青已趋化境的迫击炮技术。当时，<<解放军报>>和<<解放军文艺>>对赵章成的教学活动都作了长篇报导，八一电影制片厂将他的教学拍成了详细的军教片在全军放映。在影片中有一组镜头，赵章成挺身而立，左手托着没有炮架的迫击炮身管，右手接过旁边递来的炮弹，一发接一发地不停射击，靶标被一个个地击毁。。一个看上去憨厚慈祥的老人，完全和他的炮融为一体，是那样的气定神闲，威风凛厉。当看这影片时，我不由地想起别的影片中那些美国的、英国的、德国的、日本的、苏联的迫击炮射击场面，那一个个炮手单腿跪地，每射一发就要低下头去甚至卧倒一次，不知我的感觉对不对：这些士兵之中，永远不会产生另一个赵章成！
　　文革开始后，赵章成象他的许多老战友一样，成了“靠边站”的将军。但是，从没有哪一个造反派组织想要去揪斗“大比武”中有所作为的炮兵副司令赵章成。原因很简单，一来赵章成从来不是“当权派”，二来哪个造反派敢说自己不知道红军强渡大渡河？
　　一九六九年十一月，赵章成将军因心脏病突发，病逝于北京301医院南楼。
　　赵章成将军逝世后，骨灰入奠八宝山革命公墓骨灰堂第一室，与那些国家和军队的高级领导人共处一堂，在他的灵前，祭奠物尤为与众不同：是两座精制的迫击炮模型。没有任何人，对赵章成将军的级别是否应入奠这里提出过异议。
　　听说过赵章成逸闻一则：五十年代有一次炮兵比武演习，因为刚下过雨场地泥泞，一组打靶的迫击炮兵底盘固定不稳，连发数炮都脱了靶。主席台上的赵大怒，下台把那几个兵赶开，并不去调整炮架底盘，而是脱下自己的解放鞋垫在泥中，把炮尾支在上面，稍一瞄准就把炮靶给打飞了。