你想当消防员还是警察:函数定义域、值域解题办法归纳
一种特殊的对应:映射
9 4 1 3 -3 2 -2 1 -1 30° 45° 60° 90° 1 -1 2 -2 3 -3 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 开平方 求正弦 求平方 乘以2
(1) (2) (3) (4)
1.对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有一个(或几个)元素与此相对应。
2.对应的形式:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④)
3.映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。
4.注意映射是有方向性的。
6.讲解:象与原象定义。
再举例:
一一映射
观察上面的例图(2) 得出两个特点:
1°对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象 (单射)
2°集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象 (满射)
即集合B中的每一个元素都有原象。
从映射的观点定义函数(近代定义):
B:值域,象的集合(C)其中C í B
f:对应法则 x?A y?B
3°函数符号:y=f(x) —— y 是 x 的函数,简记 f(x)
函数的三要素: 对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。
例:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么?
1.
2。
3。
4.
5.
关于复合函数
设 f(x)=2x-
f[g(x)]=2(x2+2)-3=2x2+1
g[f(x)]=(2x-3)2+2=4x2-12x+11
例:已知:f(x)=x2-x+3 求:f(
解:f(
1. 函数定义域的求法
l 分式中的分母不为零;
l 偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
l 指数式的底数大于零且不等于一;
l 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
l 正切函数
l 余切函数
l 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)
函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,值域是
函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,
函数y=arctgx的定义域是 R ,值域是
函数y=arcctgx的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
注意,
1. 复合函数的定义域。
如:已知函数
2. 函数
则函数
3.这里最容易犯错的地方在这里:
已知函数
则函数
2. 函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.
(1)、直接观察法
对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例 求函数
(2)、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数
(3)、根判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:
4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数
10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,
首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,
一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。