2010年中考数学压轴题100题精选(1-10题)
【002】 A
C
B
P
Q
E
D
图16
如图16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ;
(2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由;
(4)当DE经过点C 时,请直接写出t的值.
【003】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD
向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E,①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?
②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值。
【004】如图,已知直线与直线 相交于点 分别交 轴于两点.矩形 的顶点 分别在直线 上,顶点 都在 轴上,且点 与点 重合.
(1)求 的面积;
(2)求矩形 的边与 的长;
(3)若矩形 从原点出发,沿 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,
设移动时间为 秒,矩形 与 重叠部分的面积为 ,求 关
的函数关系式,并写出相应的 的取值范围.
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
(G)
(第26题)
【005】如图1,在等腰梯形 中, , 是 的中点,过点 作 交 于点 . , .
(1)求点 到 的距离;
(2)点 为线段 上的一个动点,过 作 交 于点 ,过 作 交折线 于点 ,连结 ,设 .
①当点 在线段 上时(如图2), 的形状是否发生改变?若不变,求出 的周长;若改变,请说明理由;
②当点 在线段 上时(如图3),是否存在点 ,使 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 的值;若不存在,请说明理由.
A
D
E
B
F
C
图4(备用)
A
D
E
B
F
C
图5(备用)
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
(第25题)
【006】如图13,二次函数 的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为 。
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
【007】如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为(-3,4),
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H.
(1)求直线AC的解析式;
(2)连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S(S≠0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.
【008】 如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1) 求证:BE=AD;
(2) 求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3) △DBC是等腰三角形吗?并说明理由。
【009】一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ,与反比例函数 的图象相交于点 .过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 ;过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 与 交于点 ,连接 .
(1)若点 在反比例函数 的图象的同一分支上,如图1,试证明:
① ;
② .
(2)若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上,如图2,则 与 还相等吗?试证明你的结论.
O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
(第25题图1)
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
(第25题图2)
【010】如图,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于C点,且经过点 ,对称轴是直线 ,顶点是 .
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过 两点作直线与 轴交于点 ,在抛物线上是否存在这样的点 ,使以点 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设直线 与y轴的交点是 ,在线段 上任取一点 (不与 重合),经过 三点的圆交直线 于点 ,试判断 的形状,并说明理由;
(4)当 是直线 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论).
O
B
x
y
A
M
C
1
(第26题图)
2010年中考数学压轴题100题精选(1-10题)答案
【001】解:(1) 抛物线 经过点 ,
········································································ 1分
二次函数的解析式为: ········································ 3分
(2) 为抛物线的顶点 过 作 于 ,则 ,
········································· 4分
x
y
M
C
D
P
Q
O
A
B
N
E
H
当 时,四边形 是平行四边形
······································· 5分
当 时,四边形 是直角梯形
过 作 于 , 则
(如果没求出 可由 求 )
·········································································· 6分
当 时,四边形 是等腰梯形
综上所述:当 、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.· 7分
(3)由(2)及已知, 是等边三角形
则
过 作 于 ,则 ·························································· 8分
= ·························· 9分
当 时, 的面积最小值为 ····················································· 10分
此时
A
C
)
B
P
Q
D
图3
E
)
F
··········································· 11分
【002】解:(1)1, ;
(2)作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴ .
A
C
B
P
Q
E
D
图4
由△AQF∽△ABC, ,
得 .∴ . ∴ ,
即 .
(3)能.
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
①当DE∥QB时,如图4.
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形.
此时∠AQP=90°.
由△APQ ∽△ABC,得 ,
即 . 解得 .
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形.
此时∠APQ =90°.
由△AQP ∽△ABC,得 ,
即 . 解得 .
(4) 或 .
【注:①点P由C向A运动,DE经过点C.
方法一、连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6.
, .
由 ,得 ,解得 .
方法二、由 ,得 ,进而可得
,得 ,∴ .∴ .
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.
, 】
【003】解.(1)点A的坐标为(4,8) …………………1分
将A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入y=ax2+bx
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=- ,b=4
∴抛物线的解析式为:y=- x2+4x …………………3分
(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE= = ,即 =
∴PE= AP= t.PB=8-t.
∴点E的坐标为(4+ t,8-t).
∴点G的纵坐标为:- (4+ t)2+4(4+ t)=- t2+8. …………………5分
∴EG=- t2+8-(8-t) =- t2+t.
∵- <0,∴当t=4时,线段EG最长为2. …………………7分
②共有三个时刻. …………………8分
t1= , t2= ,t3= . …………………11分
【004】(1)解:由 得 点坐标为
由 得 点坐标为 ∴ (2分)
由 解得 ∴ 点的坐标为 (3分)
∴ (4分)
(2)解:∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 (5分)又∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 (6分)
∴ (7分)
(3)解法一: 当 时,如图1,矩形 与 重叠部分为五边形 ( 时,为四边形 ).过 作 于 ,则
A
D
B
E
O
R
F
x
y
y
M
(图3)
G
C
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图1)
R
M
A
D
B
E
O
C
F
x
y
y
G
(图2)
R
M
∴ 即 ∴
∴
即 (10分)
图1
A
D
E
B
F
C
G
【005】(1)如图1,过点 作 于点 ·············· 1分
∵ 为 的中点,
∴
在 中, ∴ ··········· 2分
∴
即点 到 的距离为 ·································· 3分
(2)①当点 在线段 上运动时, 的形状不发生改变.
∵ ∴
∵ ∴ ,
同理 ············································································ 4分
如图2,过点 作 于 ,∵
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
∴
则
在 中,
∴ 的周长= ···································· 6分
②当点 在线段 上运动时, 的形状发生改变,但 恒为等边三角形.
当 时,如图3,作 于 ,则
类似①,
∴ ············································································· 7分
∵ 是等边三角形,∴
此时, ································· 8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F(P)
C
M
N
G
G
R
G
当 时,如图4,这时
此时,
当 时,如图5,
则 又
∴
因此点 与 重合, 为直角三角形.
∴
此时,
综上所述,当 或4或 时, 为等腰三角形.
【006】解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB= ,得AB= ,
设A(a,0),B(b,0)AB=b-a= = ,解得p= ,但p<0,所以p= 。
所以解析式为:
(2)令y=0,解方程得 ,得 ,所以A( ,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC= ,同样可求得BC= ,显然AC2+BC2=AB2,得△ABC是直角三角形。AB为斜边,所以外接圆的直径为AB= ,所以 。
(3)存在,AC⊥BC,①若以AC为底边,则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b,把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4,解方程组 得D( ,9)
②若以BC为底边,则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b,把 A( ,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25,解方程组 得D( ) 综上,所以存在两点:( ,9)或( )。
【007】
【008】证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC,
∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余,
∴∠1=∠2…………………………………………………1分
∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分
∴AD=BE……………………………………………………3分
(2)∵E是AB中点,
∴EB=EA由(1)AD=BE得:AE=AD……………………………5分
∵AD∥BC∴∠7=∠ACB=45°∵∠6=45°∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。
即,AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分
(3)△DBC是等腰三角(CD=BD)……………………8分
理由如下:
由(2)得:CD=CE由(1)得:CE=BD∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分
【009】 O
C
F
M
D
E
N
K
y
x
图1
解:(1)① 轴, 轴,
四边形 为矩形.
轴, 轴,
四边形 为矩形.
轴, 轴,
四边形 均为矩形.········· 1分
,
,
.
.
,
,
.··········································································· 2分
②由(1)知 .
.
.······················································································ 4分
,
.············································································· 5分
.
.······················································································· 6分
轴,
四边形 是平行四边形.
.······················································································· 7分
同理 .
.······················································································· 8分
(2) 与 仍然相等.······································································· 9分
,
O
C
D
K
F
E
N
y
x
M
图2
,
又 ,
.·························· 10分
.
.
,
.
.
.······················································································ 11分
轴,
四边形 是平行四边形.
.
同理 .
.····················································································· 12分
【010】 y
x
E
D
N
O
A
C
M
P
N
1
F
(第26题图)
解:(1)根据题意,得 ··· 2分
解得 抛物线对应的函数表达式为 . 3分
(2)存在.
在 中,令 ,得 .
令 ,得 , .
, , .
又 , 顶点 .························································· 5分
容易求得直线 的表达式是 .
在 中,令 ,得 .
, .·········································································· 6分
在 中,令 ,得 .
.
, 四边形 为平行四边形,此时 .··························· 8分
(3) 是等腰直角三角形.
理由:在 中,令 ,得 ,令 ,得 .
直线 与坐标轴的交点是 , .
, .································································· 9分
又 点 , . .········································ 10分
由图知 , .································· 11分
,且 . 是等腰直角三角形.·························· 12分
(4)当点 是直线 上任意一点时,(3)中的结论成立. 14分