成都市普通话测评中心:中考数学专题训练6 阅读理解(含答案)
第二节 阅读理解
【例题经典】
等式性质和三角形形状判定的综合应用.
例1 (2006年临安市)阅读下列题目的解题过程:
已知:a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状.
解:∵a2c2-b2c2=a4-b4 (A)
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) (B)
∴c2=a2+b2 (C)
∴△ABC是直角三角形.
问:(1)上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?
请写出该误步的代号:_______.
(2)错误的原因式为:_______.
(3)本题的正确结论为:_______.
【解答】(1)C (2)错误的原因是由(B)到(C)时,等式两边同时约去了因式(a2-b2),而a2-b2可能等于0.(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.
【点评】解答此题的关键是弄清等式性质(2)的使用条件.在上述等式两边同时约去因式(a2-b2)时,要分a2-b2≠0或a2-b2=0两种情况讨论.因此,△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形,而不是等腰直角三角形.
例2 阅读材料,如图(1),在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为P,
求证:S四边形ABCD=
证明:AC⊥BD
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=
=
解答问题:
(1)上述证明得到的性质可叙述为:___________.
(2)已知:如图(2),等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD且相交于点P.若AD=3cm,BC=7cm.利用上述性质求梯形面积.
【解析】(1)通过阅读本题的符号语言,图形语言,可抽象概括出结论:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.(2)由(1)得出的结论,只要求出AC、BD的长即可求出梯形ABCD的面积.
【解答】(1)性质可叙述为:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半.
(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于E.
则有:DE=AC,CE=AD=3cm.
∵梯形ABCD是等腰梯形.
∴AC=BD,∴DE=BD
∵AC⊥BD,DE∥AC
∴DE⊥DB
∴△BDE是等腰直角三角形.
∴BD=BE×sin45°=10×
∴S梯形ABCD=
【考点精练】
1.(2005年泉州市)我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表,此表提示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的各项系数的规律,例如:
(a+b)0=1,它只有一项,系数为1;
(a+b)1=a+b,它有两项,系数分别为1,1;
(A+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别为1,2,1;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别为1,3,3,1;
……
根据以上规律,(a+b)4展开式共有五项,系数分别为______.
(第1题) (第5题)
2.先阅读下列文字找规律,然后完成题后填空.
我们知道:31=3,个位数字是3;32=9,个位数字是9;33=27,个位数字是7;34=81, 个位数字是1;35=243,个数数字是3;36=729,个位数字是9……
(1)那么,37的个位数字是______;320的个位数字是______.
(2)根据以上规律求:(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)……(332+1)+1的个位数字是_____.
3.先阅读下面方程组的解题过程.
解方程组
解:①+②+③ 得 2(x+y+z)=12
即 x+y+z=6 ④
④-①,得z=3
④-②,得x=1
④-③,得y=2
∴原方程组的解为
请模仿上面的解题思想,解方程组
4.(2006年茂名市)先阅读,再填空解题:
(1)方程:x2-x-12=0的根是:x1=-3,x2=4,则x1+x2=1,x1·x2=-12;
(2)方程2x2-7x+3=0的根是:x1=
(3)方程x2-3x+1=10的根是:x1=____,x2=_____,则x1+x2=______,x1·x2=_______.
根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:
如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0且m,n,p为常数)的两根为x1,x2,那么x1+x2,x1·x2与系数m,n,p有什么关系?请写出来你的猜想并说明理由.
5.阅读下列内容:“矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形.正方形是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形,因此我们可以用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题”,回答下列问题:
(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们所包含的关系中,如图(1)所示;
(2)要证明一个四边形是正方形,可以先证明四边形是矩形,再证明这个矩形的_____相等;也可先证明四边形是菱形,再证明这个菱形有一个角是_______;
(3)如图(2)所示,某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是
6.(2005年嘉兴市)某校研究性学习小组在研究相似图形时,发现相似三角形的定义、判定及其性质,可以拓展到扇形的相似中去.例如,可以定义:“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”;相似扇形有性质:弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方……,请你协助他们探索这个问题.
(1)写出判定扇形相似的一种方法:若____________,则两个扇形相似;
(2)有两个圆心角相等的扇形,其中一个半径为a,弧长为m,另一个半径为2a,则它的弧长为_______;
(3)如图(1)是一完全打开的纸扇,外侧两竹条AB和AC的夹角为120°,AB长为30cm,现要做一个和它形状相似,面积是它一半的纸扇(如图(2)),求新做纸扇(扇形)的圆心角和半径.
(提示:(1)可以类比相似三角形的判定方法写出判定扇形相似的一种方法;(2)由相似扇形的性质“弧长比等于半径比”可求解;(3)由相似扇形的性质“面积比等于半径比的平方”可求出新做纸扇的半径.)
7.(2006年绍兴市)我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等?
(1)阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等;
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略).
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知:△ABC,△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.
求证:△ABC≌△A1B1C1.
(请你将下列证明过程补充完整)
证明:分别过点B,B1作BD⊥CA于D,B1D1⊥C1A1于D1.
则∠BDC=∠B1D1C1=90°,
∵BC=B1C1,∠C=∠C1,
∴△BCD≌△B1C1D1,
∴BD=B1D1.
(2)归纳与叙述:
由(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论.
8.(2006年海淀区)请阅读下列材料:
问题:现有5个边长为1的正方形,排列形式如图①,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
小东同学的做法是:设新正方形的边长为x(x>0).依题意,割补前后图形的面积相等,有x2=5,解得x=
请你参考小东同学的做法,解决如下问题:
现有10个边长为1的正方形,排列形式如图④,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在图④中画出分割线,并在图⑤的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
说明:直接画出图形,不要求写分析过程.
答案:
考点精练
1.1,4,6,4,1 2.(1)7,1 (2)1 3.
4.解:(3)x1=
猜想:x1+x2=-
∵一元二次方程mx2+nx+p=0(m≠0,且m,n,p为常数)的两实数根是
x1=
∴x1+x2=
x1·x2=
5.解:(1)如图
(2)一组邻边,直角
(3)对角线长为a的正方形的面积S=
S正方形=
解:(1)答案不惟一,例如“圆心角相等”“半径和弧长对应成比例”.
(2)2m
(3)∵两个扇形相似,
∴新扇形的圆心角为120°,设新扇形的半径为r,则(
∴r=15
7.解:(1)∵AB=A1B1,∠ADB=∠A1D1B1=90°,
∴△ADB≌△A1D1B1,∴∠A=∠A1,
又∵∠C=∠C1,BC=B1C1,∴△ABC≌△A1B1C1
(2)若△ABC,△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1,则△ABC≌△A1B1C1
8.解:所画图形如图所示.