好听的日本片尾曲:分形几何学---研究碎片形态的几何学
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分形几何学
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分形几何学
---研究碎片形态的几何学
分形几何学(The fractal geometry)是继随机数学、模糊数学和浑沌学后,又一门研究事物非连续光滑规整确定形态的数学分支,由美国数学家波努瓦·曼德勃罗特(B.B.Mandelbot)于上世纪七十年代所创立,为我们对事物形态尤其是碎片形态这一特殊形态与运动方式的复杂性研究提供了一个观察的新视角。[6](P1)分形几何学是一门比较高深的数学分支,我们力图用通俗的语言深入浅出的加以介绍。
B.B.曼德布罗特是美籍法国数学家,1924年11月20日出生于波兰华沙一个立陶宛犹太人家,其父是一位成衣批发商,母亲是位牙科医生。1936年全家移居法国巴黎,他的叔叔索列姆·曼德布罗特(Szolem.Mandelbrot 1899.1.20-1983.9.23) 在巴黎,是一位杰出的纯数学家和复分析专家。
曼德勃罗特
曼德布罗特1945-1947年在高等艺术学校学习,1947年于巴黎理工学校(Ecole Polytechnique Paris)毕业,1948年获美国加利福尼亚理工学院帕萨迪讷获航空学硕士,1952年在巴黎大学获哲学(数学)博士。1958年因与布尔巴基学风相左离开法国前往美国定居,先后在哈佛大学教经济,耶鲁大学教工程,爱因斯坦医学院教生理学。 [1]
他现在仍然在美国IBM(国际商业机器)公司沃特森研究中心自然科学部担任高级研究员,同时在哈佛大学应用数学任兼职教授,美国国家科学院院士,美国艺术与科学研究员成员,欧洲艺术、科学和人文研究院院士(巴黎)。上世纪80年代以来,获得了许多荣誉。1988年共获四项大奖,其中“科学与艺术”奖的目的是“促进艺术、科学和工业界之间的相互渗透的重大科学创新,从而使美学创造力伸展到科学技术领域中”。1989年获得在以色列颁发的“科学与艺术哈维(Harvey)奖”。[1] 曼德布罗特教授投身科学事业40余年来,在许多领域做出了重要贡献,横跨数学、物理学、地学、经济学、生理学、计算机、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、哲学与艺术等学科与专业,是一位名副其实的博学家。他研究过海岸线、通讯中的噪音、尼罗河水位的记录、棉花价格和股票市场的涨落等不规则的东西,取得了令人瞩目的成就,由于他的奔走呼号和锲而不舍地持续努力,分形理论才发展成为一门应用广泛、用途远大的边缘横断学科。[2]
曼德布罗特的经历曲折不平充满神奇。由于战乱,他的学业时断时续,受的教育也很不正规。年轻时参加过法国著名的数学团体即布尔巴基学派,但由于布尔巴基摒气一切图形,过分强调逻辑分析和形式主义,使得他无法忍受而转到巴黎理工学校读书。10年后,因同样的原因而离开法国到美国定居,他不愿意放弃自己的几何直觉。他长期生活在一个被人遗忘的数学角落里,用一种非正统的方法探索一些“不时髦”的原理。对纯粹的数学家来说,曼德布罗特是不够格的数学家,既谓神无方而又易无体,经常作为异端受到指责和批评。曼德布罗特戏谑自己是一为游牧民,又叫自己是“按需先锋队”,徜徉于自己爱好的天地中。
曼德布罗特在数学尤其是几何学与计算机两方面都兼通,擅长于形象空间的思维,具有把复杂问题化为简单生动甚至彩色图象的本领,无论是什么数学问题,他几乎都能巧妙地把它转化为几何问题,通过图形变换求解,其思维极其图形化。1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长”的划时代论文,是他的分形思想萌芽的重要标志。1973年,在法兰西学院讲课期间,他建立了分形几何学的整体思想。
曼德布罗特对不规则的形状和不规则的现象非常感兴趣,他对早期人们遇到的“病态”集合进行了研究,包括康妥集、魏尔斯特拉斯曲线、皮亚诺曲线和科克曲线等等。为了给自己研究的那些极不规则、破碎不堪、不光滑、不可微的东西命名,1975年冬他创造了fractal一词,原义是不规则的、分数的、支离破碎的。同年他以《分形:形状、机遇和维数》(法文版)为名发表了他划时代的专著,奠定了分形理论的诞生。这是一本漫谈体的书,插图丰富,抽茧统纪,才思横溢博学而古怪,引起众说纷纭。1982年经扩展和加工的另一本书,英文版的《大自然的分形几何学》又与读者见面。此书文字艰涩又不失幽默,引经据典旁征博引,他自称是一本“宣言书”又是一本“个案记录”,但被分形界的学者视为“圣经”。
1 分形几何学产生的背景
在函数和几何研究中,数学家们发现,客观世界中既存在着连续现象,也存在着大量不连续现象,更多的事物呈现不光滑不规整不确定的形态,尤其是上个世纪以来,科学家们对不连续不光滑的现象倾注更大的注意力,在不连续不光滑形态研究中取得重大进展,诞生了随机数学、模糊数学和浑沌学等新的学科。[10](P89)在不连续形态分析中,人们又注意到另一种特殊现象,即物体形态呈现锯齿形,如同碎裂的石片。例如,大千世界中诸如蜿蜒曲折的海岸线,天空中奇形怪状的云团,太空中星球星罗棋布的分布,生物体不规则的生长,分子和原子无规运动的轨迹,岂特物为然,许多社会现象亦如是,社会科学中的人口、物价等等问题何尝不呈现异常复杂毫无规则的形态。这些物体的形状与现象,委曲微变,不可胜道,其繁杂程度令人无从下手,欧几里德几何的要素是光滑的直线、平面、圆、球等,但是曼德布罗特教授说,“云不是球、山岳不是锥体、海岸线不是圆、树皮不是光滑的,闪电也不是沿直线传播的。”
图表 1
著名的例子是康妥集(Cantor set在集合论等数学领域都用到的一个典型的例子)由德国数学家格奥尔格?康妥(Georg Cantor)引入的一种点集概念。它是在一条线段上的一些点的集合,具有不可数和自相似的特征,是最容易构造的分形。设E0是闭区间[0,1](表示满足0《x《1的实数x组成的集合),E1表示由E0去掉中间三分之一后得到的集,即E1包含[0,1/3]和[2/3,1]两个区间。分别去掉这两个区间的中间的1/3而得到E2,即E2包含[0,1/9]、[2/9,1/3],[2/3,7/9],[8/9,1]四个区间。按此方法继续下去,则Ek是由2k个长度各为3-k的区间组成。三分康妥集F是由属于所有Ek的数组成的,确切地说, k=0Ek,F可以看成是集序列Ek当k趋于无穷时的极限。显然,不可能画出带有无穷小细节的F本身,所以F的图实际上只是一个k无穷大时对F较好逼近的Ek的图。[6](P1)
图表2中的Sierpinski三角形是从一个初始的等边三角形反复去掉(相反方向)小等边三角形得到的,将此过程看成是反复用三个高为原高一半的三角形取代原来三角形的过程。
图表 2 Sierpinski三角形
用欧几里德几何无法来解释更无法来分析碎片现象来解决这些无规则的问题,那时,人们无奈只好把这些现象和问题抛在一边苟且不加理会了。[7](P3)
恰巧,二十世纪以来,科学们日益重视局部性的研究,已经在对事物的局部研究上取得相当的成绩,微观技术和微观数学已经蓬勃发展起来,[10](P96)分形几何学早期的工作可追溯到19世纪。[10](P100)借助微分几何中流形理论,以及测度论等工具,由美国数学家曼德布罗特教授建立起分形几何学,专门研究动态大系统中,自相似现象的一种特殊形态。他将这些形态的现象比拟为碎石片(fractal),即分形。这些不规则的图形的整体可与部分产生自相似,即部分的形状与整体的形状是一样的,不论部分如何小下去,如同全息论的思想[10](P114),在每一个部分都带有整体的几何形状的信息。[7](P9)类似于人体血液,任选一滴化验,都可反映出人体全身的血液成份。再如洋葱头和中国古代的箱套,以及大宇宙和小宇宙说法的层层相套结构是空间自相似的典型。[10](P113)
分形碎片现象在客观世界中太频繁多见了,分形的怪异性质在自然界中普遍存在,因此研究分形现象有重大价值,包括物理、化学、生物、地球科学、天文物理学中不规则图形,都可以近似或类似地看作分形加以解释和处理,而处理分形现象所需要的数学工具也都成熟齐备,至此分形几何学便应运而生了。[10](P93)
如果我们用不精确的语言来描述说,随机数学研究事物的统计大致的不准确性质,模糊数学研究物体的多值不确定性,浑沌论研究整体无规律,局部有规律的混乱现象,则分形几何则研究整体与部分之间有自相似关系的缺牙斑疵的不光滑形态,复杂世界需要更贴近自然的直接从非线性复杂系统本身入手的分形几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何是描述大自然较普遍现象的一门几何学。
2 分形几何学的基本概念和原理
分形几何学中概念专业化较强,我们用通俗和专业(见附录)两种方式来分别作介绍。
用通俗的方法讲,分形几何亦即是研究自相似复杂图形和结构的几何学。何谓是自相似呢?我们在中学几何中知道,相似形是指两个成比例的图形。彼自相似就是整体与部分的形状是相同的图形,局部与整体在形态、功能和信息等方面具有统计意义上的相似性。适当地放大或缩小分形对象的几何尺寸,整体结构并不改变,这叫做标度不变性。[17](P78)例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈,在形状上并无大的区别,大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系;[10](P101)我们再拿来一片树叶来观察它的叶脉,它们也具备如此性质;夫动物也不例外,一头牛身体中的任一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面,无论怎样放大其局部,它都是粗糙不平的。这些例子在我们的身边俯拾即是随处可见。分形几何以非规则几何形态为研究对象,揭示了世界的自相似的本性。从康妥集和Sierpinski三角形的图形,我们可以看出这些图形如下的一些性质,即分形的性质:[6](P3,P11,P229)
1)、分形具有精细的结构,即在任意小的尺度内包含着整体的结构。即分形集都具有任意小尺度下的比例的细节,越放大康妥集的图,间隙就越清楚地呈现出来。也称为标度不变性或无特征长度,是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构形态性质功能,复杂程度不规律性等各种特征均保持不变(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性。往往是所考虑的对象中最具有代表性的尺度,如空间的长宽高,时间的时分秒等。
2)、无论从局部和整体上看,分形是不规律的,它不能用传统的几何语言来描述,它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是任何简单方程的解集。
分形也不能用通常的面积体积等尺度来度量。例如康妥集F在某种意义上是相当大的集(是不可数无穷集),然而它的大小不适合于用通常的测度和长度来度量,用任何合理定义的尺度度量F的长度皆概为零。
从康妥集我们还注意到, F的局部几何性质也是很难描述的,在它的每点附近都有大量几曾被种种条件的不同间隔分开漏弃的其他的点。
3)、分形是自相似的,例如在康妥集中,在区间[0,1/3]和[2/3,1]内的F的部分与F是几何相似的,相似比为1/3。进而E2的四个区间内F的部分与F也相似,相似比为1/9。以此类推,康妥集包含许多不同比例的与自身相似的样本。
分形集具有某种自相似形式,或许是近似的自相似性,或许是统计意义下的自相似性。
4)、通常分形的“分形维数”比它的拓扑维数要大,一般地说严格大于它相应的拓扑维数。(指欧氏空间中的几何对象数或变量数)。
5)、在大多数情形下,分形集由非常简单的方法定义,可以用变换的迭代产生,即是递归的。例如康妥集,虽然F有错综复杂的细节结构,但F的实际定义是非常简单明了的。乃是一个迭代过程得到的,我们的结构是由反复地去除区间中间`1/3得到的,持续k步骤得到的Ek是F的越来越好的逼近。[10](P107,P111)
将上述分形的性质加以整理,以及从对分形通俗的描述可知分形几何学具有如下两个基本思想,自相似性和分数维:
1)客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性。
客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,成为自相似形。例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下
去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构都没有发生变化。概言之,分形是如此一种对象,将其细微部分放大后,其结构看起来仍与原先的一样。例如,任意一段海岸线就像是整个海岸线按比例缩小的结果。
2)分数维是刻划分形的特征量。
自相似性好理解,分数维不太好理解,我们先来看一下,什么是维? 从字面上讲,维即维系,维持并联系,使不涣散。如织物上纵横经纬线,将线排列编织成织物。N维就是N条直线两两垂直所形成的空间。
若是从变量或参数的角度来看,这个参数就叫做维。几个参数即是几个维。例如,0维是点,没有长、宽、高。一维是由无数的点组成的一条线,只有长度,没有宽、高。二维是由无数的线组成的面,有长、宽没有高。三维是由无数的面组成的体,有长宽高。[10](P97)
通过直线与实数的对应关系,那么我们可以知道,所谓的分数维,也就是说,参数取值于实数集中的某一子集(孤立点集、离散集),是实数集的若干分之一。其维不是整数,而是若干分之一。如康妥集即由直线中去除了若干点剩余的部分,是直线的若干分之一。它的长度为零,故维数不能为1。但维数也不为零,因为它有无穷点,又不是只有一个点,故其维是大于零小于一的分数。经具体计算,康妥集的维数为:log2/log3=0.6309…。[6](P51)
在Sierpinski三角形中,我们首先作一个完全填充的三角形(二维)。然后,我们从中间移去一个三角形,然后再在剩下的三角形中分别移去一个三角形。最终它的面积等于零了,于是,它的维数自然小于 2 (如果维数等于2,则面积就不能为零了),但是却永远达不到 1 ,因为,无论何处,它都不接近一条线。故而,它的维数必在2与1之间,经过数学计算后知道,它的真正维数大约是1.5850。
我们也可以根据自相似性来导出维的新的概念。[6](P160)首先把一条线段分截成两个相同的小线段,我们把这种分截的结果有意写成数学式子:2=21,或者以2为底写成 log22/log22=1,其中指数为1,就一个方形而言,把边长分为二等份,结果产生出与原来形式相同的四个小方体:4=22,以2为底写成对数形式为log24/log22=2.同理,把一个立方体的边分为二等份,就产生出同原来形状相同的8个小立方体:8=23,以2为底,写成对数形式则有log28/log22=3.这里的指数,1,2,3是从相似性概念推导出来的,我们可以把这个概念加以推广,具体地说,如果把一个物体的边长分成a 个小线段,并且结果产生出同原物体形状相同的b个小物体,根据如上所述,可以把这个结果写成b=aD;,其中的D为相似性维数,D=lnb/lna。这个D并不定为整数,如在科赫曲线中,其D为ln4/ln3=1.26。于是乎维的概念突破了欧氏几何的传统概念,而出现了分形的维为分数的情况。这里需提醒读者注意的是,由于人们对事物观察的角度不同,对几何结构的认识是则相对的,因此维数也是多样的。[7](P10-19)
现在对分形的研究大体上分为以下几个方面,其一是对自然界、社会经济以及艺术等领域中的典型分形形态进行观察实验;其二是应用于各个技术领域;其三从数学理论的角度研究分形和分维,试图建立分形理论的数学基础;其四对多分形和复分形展开研究;其五从物理的角度对分形形成的机理和动力学规律等进行研究;其六是从哲学方法论和科技史的角度对分形理论的认识意义哲学启示进行研究,[10](P102)第六方面国内翻译介绍得较少,一般见诸于期刊杂志上哲学观点仍然是企图用马克思主义加以曲解而枉其道,前阻后追,使分形等新科学奥妙精辟思想不为国人所认识接受,使国人生活在愚昧落后的马克思主义意识形态中。
3 分开几何给我们的启发
到了现代,事物的形式与形态问题愈加吸引了人们的注意,并且进一步和系统信息和控制等理论联系起来,出现了一些专门研究形态或与形态有关的学科,例如表面物理学数理逻辑等,而化学在一定意义上说是研究物态和构形的科学,生物学与形态的关系则更为明显。将形式与内容本质割裂开来并加以抽象的形式主义终于作为科学研究重要的思想方法为人们所普遍接受并运用,而分形几何学则是一门侧重事物外在形式研究的现代科学。另一方面,现代科学揭示出来的随机、模糊、浑沌和孤立子等许多问题涉及重新认识确定性与随机性、必然性与偶然性、有序与无序、简单与复杂……这些范畴,进一步涉及对时空观、自然观、规律的认识。
3.1验证了客观世界存在着无规律的现象。规律性表现为有序性,从常规数学来看,分形是不规则点集(即无序的),但它却存在着局部与整体的自相似,其维数是非整数,它的形态是复杂的,盘涡谷转,凌涛山颓,无法用传统数学描述,但却可以用简单的迭代法生成。故我们说,分形之“序”在有序与无序之间的状态——“浑沌序”(或称为半序)。浑沌序是说,就其不具有周期性和对称性而言,它是无序的;但就其随时间演化表现出来的倍周期分岔进入混沌具有相同的速度和周期点分布遵循一定规律来看,它又是有序的。而分形就其空间结构的自相似来看,它是有序的,但从规则上来看又是无序的即无规律的。可以这么说,分形是规律性偏强些的不规则图形。
所以,混沌序不仅扩大了我们对物质运动规律性的认识,而且将促使我们重新审查我们先前的自然观。我们可以提出这样的自然观,存在着一种准(半)规律,即从有序的角度来衡量是无规律的,从无序的角度来看有存在某些局部的规律性。浑沌即是从整体上看无规律,在局部存在着规律。而分形的准(半)规律则说,局部可以与整体的形状相似或相同,分形的维数是分数维。当然这种准规律决不能等同于一般的规则,不能建立起分形局部或整体的序,从而无法建立起整体的规律或者局部的规律并从局部的规律推绎出整体变化的趋势。否则分形则成了规则图形。人们通过对分形的认识,又了解到了一种不规律的无序现象,补充了人们认识到的整体无规律的案例和认知,再一次验证了整体不可精确预测的事实。中国有一部分学者,企图扩大“规律”的内涵,以否定客观世界不存在无规律的现象,用准规律(半序)来混淆精确规律(良序),以说明世界都是可认识的,世界都是有规律的,然后来说明马克思发现了人类社会发展的规律,创建了科学社会主义,进而固守共产主义的信念和共产主义学说的真理性,这种企图是徒劳无益的,充其量也只不过是准规律,具有严格的局部性。从一定意义上说,社会风气的流行,经济趋势的发展,甚至城市道路的延伸,商业网点的扩展等等也都是按照分形无规律或准规律生长的。若我们总是硬以精确规则或原则(何况大多数是过时了的或错误的原则)去套现实中的问题,必定碰得头破血流,对待社会问题,我们只有根据选民的意见调整,以人民的幸福度为准则,所以,我们是名正言顺的半原则性者或“机会主义者”。
3.2 局部和整体的自相似现象。分形具有精细的结构,即在任意小的的尺度内包含整体的结构。即分形集都具有任意小尺度下比例的局部或子集。从分形和整体之间的自相似现象,我们可以从分形的整体形状推知每个局部的形状,反之也可从整体的形状推知局部的形状。[6](P100-117)凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来的自相似性现象,我们皆可称为社会分形。这种分形几乎涉及以社会的各个层面为研究对象的所有社会科学部门。我们可以把知识信息时代的世界看成是一个分形。不论是全世界还是局部都几乎相似或几乎是同样的呈现出如下的形态,即私有经济和公有经济混合互补存在,不会只存在私有经济,也不能只存在着公有制经济;知识经济取代了资本经济信息时代经济运行的知识动力;知识力量超越了资本力量,社会跟随知识变化,科技取代经济成为社会进步的决定性力量,科技专家主宰和掌握人类的命运;共赢共存的阶层关系,企业的发展不再为资本家手中的资本掌握,而取决于企业白领工人掌握的知识信息,以及他们的知识再创造能力、取决于白领工人新知识转变为生产力的能力和效率。企业的发展方向投资方向利益的分成,取决于白领工人。况且利润分成更加公平,出现了收入的均等化,无产(无资本更为确切些)阶级贫困化不复存在,无产阶级已经不存在了,资本家与工人阶层之间的差别已经消失。阶级阶层及其结构都出现了一系列的重大变化,阶级斗争这样的小斗争已经让位于平民阶级与官僚特权阶级的斗争。贝尔认为,蓝领工人成为少数,白领工人成为多数,成为社会的主导性力量和统治阶层。资本家与工人阶层的关系不再具有对抗性,他们的关系已经融洽为合作投资者与合作劳动者的关系。信息社会必须实行对所有公民都民主的政治体制,人人有参政议政权利,了解真实信息的权利,民主制定公平合理的竞争法则,需要建立一个民有民治民享的政府。信息社会国家的政府都务必保障公民的政治权利,如选举权,思想言论自由,信仰自由,集会结社自由。由多数派组织政府,同时尊重少数派的权利。社会将力图克服杜绝不平等现象,官僚特权阶级必须铲除,坚决反对贵族特权阶级和独裁制度。在知识信息时代倘若不遵守信息时代都相似的社会形态规则,反其道而行之去推行专制统治抵制普世民主制度,工人没有自己的工会,没有罢工自由结社新闻自由是非常危险的,积累的矛盾每每将暴发出社会难以承受的冲击波,如今中国不仅盗贼蜂起,而且仇富杀富现象频频发生,恶性案件此起彼伏,万围千寻妨道路,当早易道以违其害。无论是那个国家或地区只要进入知识信息社会,都和全世界一样,在政治体制上都必须实行民主政治体制。即民主政治体制在知识信息社会是自相似的,是一种不以尧存不以桀亡的普世价值。
有人云,分形整体中有局部,局部中有整体,说明分形具有整体和局部的辩证统一。这种说法不太准确,所谓辩证统一,主要指对立统一,而局部是整体中的一部分,局部和整体显然不是对立关系,而是互补关系,所以,准确的说法是,分形具有互补统一性。
3.3分形是不可精确测量的,甚至是测不出来的。分形几何学说明,事物大多数不具有连续、光滑、规整、确定的形态,而间断、突变、随机、奇异的病态才普遍又正常。[10](P90)而病态的事物是不可能精确地测量预测的,没有规律变化莫测。举例说,海岸有平坦的沙滩,但更多的是岩石块、结构各异的海湾、大小不一的断层、深浅不同的峡谷,还有江河的出口,海岸的结构是十分不规则的,“野船著岸偎春草,水鸟带波飞夕阳”,即使是最详细的地图也难于把这些结构细节一一表示出来。在二十世纪七十年代,法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长?这个问题则依赖于测量时所使用的尺度。
如果用公里作测量单位,从几米到几十米的一些曲折会被忽略;改用米来做单位,测得的总长度会增加,但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由此来看,在测量中所采用的标度越小,所测得的海岸线就越长;每一次缩小测量中所用的标度,便增加了测得的长度,这是因为小的标度能够测量到更多的不规则区域,从而增加了海岸线的长度。
假设海岸线有一个一定的长度L的话,当测量的标度趋于零时,则海岸线的长度应当趋于L,但事实上并非如此。事实上,当测量中所用的标度趋于零时,所测得的海岸线的长度并不趋于某一固定值。这意味着海岸线的长度是测不出来的。
由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制,取不列颠岛外缘上几个突出的点,用直线把它们连起来,得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子,使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间,存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区,长度不是海岸线的定量特征,就要用分维。概言之,分形具有许多个标度和无标度区,分形的长度不能精确地测量出来。
因为严格的因果关系只有在一个有限的孤立系统中才能导致严格的决定论,如果宇宙是无限的,那么其中任何一个有限世界都会有一个无限大的外部环境,来自无限遥远处的不可测因素将会不断破坏有限世界的决定论;横看成峰侧成山,远近高低各不同,“无限”是不可描述不可总括的,无限宇宙本身也不能成为一个系统,不能有一个整体的‘现状’作为决定论的前提。再说,如果系统是开放的大系统,那么存在众多的临界点和分叉点等等不稳定点,在这些点上社会发展受到即使微小的扰动也足以导致完全不相同的状态,此时起决定作用的往往是被人忽略的微小因素。因此,社会长期的预测是没有意义的,换言之,在社会动态大系统中,决定论是不成立的。[7](P3-6)
普里高津的《确定性的终结》一书“从经典科学的中心概念‘时间’入手,向传统的科学观、宇宙观发起了总攻击,明确宣告(无限或动态开放系统中)决定论已经寿终正寝了。可以预料,这部著作的思想和理论必将在科学史上带来一场新的革命。”[8]
3.4还原论的局限性
还原论涉及部分与整体的关系,它把整体分解为一些相同的部分,然后通过研究部分的性质,再把部分的性质叠加起来作为整体的性质,然而,分形理论揭示出部分与整体具有自相似的关系。因此,作为还原论思想在数学中应用的无限细分、无限求和的方法亦已不能应用于分形,因为它没有反映部分之间的相似性,反映了还原法的局限性(注:在一般系统论就已经指出,部分的功能和不等于整体的功能)。所以分形学家创造了一种反映部分与整体、部分与部分的相似性的专业数学方法——迭代函数系统,成功地用于描述和生成分形图。所以迭代函数系统成为研究复杂形态的新方法。在科学研究尤其是社会科学研究中,人们多习惯于使用叠加的方法,通过对分形学知识的了解,我们再遇到分形现象的问题,就当改用迭代函数方法来计算处理,迭代函数方法才是处理计算分形问题对症下药的有效方法,迭代函数方法在分形几何学和动力系统学中都有详细的专业介绍,有数学基础或兴趣的本科生花点时间是不难掌握的。[10](P103)现有分形几何学中的分数维概念还是建立在线性可列和的基础上(见测度定义),笔者以为,若用系统论的思想建立测度论,则分形理论可能会更好地反映复杂系统的特征。
3.5 分数维对时空观的变革
自然观随着人们视野的扩大和对自然界认识的深化而发展,也会因观察世界的角度和研究重点的改变而改变。[10](P89)而维数则是分形几何中改变的人们认识自然的一重要参数,是描述空间和时间的最基本特征量之一,因而维数观念是构成时空观的重要内容。分形几何揭示了复杂事物的空间结构的维数是分数的,它表示分形图填满空间的程度,表示分形图的复杂程度。因此,它改变对维数的传统认识,即把空间维数看成是确定物体位置的最小坐标数。维数观念的变革将引起时空观的变革,因为这样一来,时间不再具有光滑的平移性,空间也不再具有均匀性和旋转性,存在着许多空间漏洞或时空隧道,从而作为自然科学基础的时空观也将发生根本的改变,建立在新时空坐标上的各门自然科学也将发现新的许许多多有趣的新的属性,这将犹待着我们重新去开采探索和发现。[9] 分形理论为我们提供了一个观察世界的新视角,即从事物形态和运动方式的复杂性方面来观察世界,从这个观点出发,人们惊奇地发现,以往许多关于时间空间形态等方面的传统看法都需要加以彻底改变,[10](P89)假若仍然以一百五十多年前的老观念看世界用老方法来解决新问题无疑是削足适履不适用了。所以,以往的任何科学都有其局限性,有条件限制,不存在放之四海而皆准的绝对真理,更为重要的是,马克思主义从理论上说是荒诞的,从实践上说是行不通的,与信息时代相似性相悖,在信息社会是为怪诞嵬说。所以,马克思主义不是可修正补充发展的科学纲领,而是被淘汰废替的一种错误的假说。
物各有形人各有貌,万物万形,千人千貌,专制社会一方面抵制社会形态的普世价值,另一方面在国内又否定特异性强调统一性。具体的人和物有其自相似变换中的不变量即特征形态,而社会人与人的关系,工业社会和信息社会的特征则是对任何国家都是相同的,他们在全世界是自相似的,而每个人则是个小宇宙只能是自己自相似,他们在演化中都力图保持自己的特征形态,保持自己的特征形态的稳定性,那么每一个人的自由发展的空间对每一个的发展来说是断不可缺少的。
3.5 简单与复杂的互补统一
曼德尔勃罗特(B.B.Mandelbrot)研究中最精彩的部分是1980年
他发现的并以他的名字命名的集合,他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结 构。
Mandelbrot 集
Mandelbrot 集合图形的边界处,具有无限复杂和精细的结构.当你放大某个区域,它的结构就在变化,展现出新的结构因素。无论你怎样放大它的局部,它总是曲折而不光滑,即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中却是凤毛麟角见之不多。所以说,Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战和叛逆。
数学上的分形大多是通过反复迭代构造出来的,Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子 Z <- Z2 + C 进行迭代产生的图形。[6](P266-300)虽然式子和迭代运算都很简单,但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。[6](P229-265)在传统几何学中难以寻觅到如此简单的换算导致如此复杂而生动的例子。
分形几何学告诉我们,分形是自然和社会中事物的普遍存在形式,真实世界是多分形的,事物的复杂性态不仅表现在属性上而且表现在形态上,分形维就是图形复杂程度的一种测度。分形生长是系统演化的一般方式,也是事物发展的基本形式。[10](P103)Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。例如,大型团体操中每个人穿的衣服只是几种颜色中的一种,每个人的动作也只是导演规定的几种之一。但是整体上可以显示出千奇百怪的复杂形态。人们在处理事情的过程中,总希望简单便捷,但往往是带来错综繁杂的结果。民主国家经济结构多元化混合经济,经济繁荣物质丰富。共产主义国家经济单一,物质贫乏,经济困难。民主国家思想多元活跃,专制国家思想一元,对客观世界的认识和建设常倍道而妄行,总是再三返工,浪费人力物力和时间。
再如,在国家行政权力的更迭过程中,民主制度设计的程序手续比较复杂,五音杂陈似有民主生乱之像,但后果却是全社会喜气洋洋皆大欢喜。唯独专制制度的政权更迭过程手续过于简单(其实协调的过程也是兴师动众劳民伤财),就在少数人中甚至于主要几个人中拍板苟得决定,结果却搞得非常复杂,剑拔弩张腥风血雨,甚至是灾难性的天下大乱,且人民群众不认可指定的结果。民主国家决策过程复杂后果良好,专制国家决策简单,后果却是差强人意。
附录:下面我们再略知一下,分形几何严格的数学描述,对数学不感兴趣的读者可略过这一部分内容。[10](P119-127)
拓扑学(Topology):是近代发展起来的一门较新的几何学,这门学科的产生于几何学以及集合理论,如空间、维数和变换。拓扑学主要研究图形在连续的变形过程中不变的整体性质,这些变形包括对物体进行拉伸、挤压等。拓扑学对于分形几何学的兴起有着重要的影响。
同胚(Homeomorphism):即同胚映射,指两个拓扑空间之间的双连续函数(即这个函数是一一对应的连续满映射,同时它的逆映射也是连续的)。简单来说,拓扑空间就是一个几何物体,同胚就是把物体连续延展和弯曲使其成为一个新物体。如:圆周和正方形的边界同胚。
测度(Measure):测度是环上的非负广义实值函数,可以取得有限或无限值,并且它具有可列可加性,在空集上的值为零。[6](P24)
豪斯多夫测度(Hausdorff Measure):设F为n维欧几里得空间中的任何子集,所有直径不超过ε>0的F的覆盖的s次幂的和达到最小(下确界),随着覆盖数目趋于无穷而ε趋于零时的下确界称为豪斯多夫测度.记为Hs(F).[6](P42)
德国数学家菲利克斯?豪斯多夫(Felix Hausdorff)引入的一种给任意一个复杂点集赋予维数的方法。从豪斯多夫测度定义可以看出,对集F和1>ε>0, F的覆盖的s次幂的和的下确界对s来说是不增的,所以极限即豪斯道夫测度也是不增的。即存在着s 的一临界点,使得豪斯道夫测度从∞跳跃到0.
∞
Hs(F)
∞
Hs(F)
0 dimHF s n
∞
Hs(F)
0 dimHF s n
∞
Hs(F)
豪斯多夫维数(Hausdorff dimension):存在着s 的一临界点,使得豪斯道夫测度从∞跳跃到0,这个临界点称为F的豪斯多夫-贝西康维奇维数(Hausdorff--Besicovitch dimension),也称为豪斯多夫维数,记为dimHF. [6](P46)
分形的定义
曼德尔勃罗特曾经为分形下过两个定义:
(1)满足条件 dimHF >dim(F)
的集合F,称为分形集。其中,dimHF为集合F的Hausdoff维数(或分维数),dim(F)为其拓扑维数。一般说来,Dim(A)不是整数,而是分数。
经过数学计算,我们可以得到一种结果,d = (log N) / (log (1/r))
该定义是由曼德尔勃罗特在1982年提出的。这里涉及较艰深的豪斯道夫维数Dh和拓扑维数Dt相关集合知识,故这里就不再细述。四年后他又提出了一个实用的定义。
(2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。
下面再来做下分数维的简单计算,根据自相似性来导出维的另一个的定义。[6](P56)
假如你把一条直线分为 N 段,那么,你就有了原始直线的 N 个更小的版本,每一个都按照一个比例系数 r 减小,在这里 N*r = 1。对一个正方形来说,也分成几个小的正方形,也让每一正方形的每边的缩放比例为 r ,则有N*r2 = 1.以此类推, N 和 r 的关系有 N*rd = 1。即你把一个 d 维物体假设分为 N 等份,每一份的缩放比例是 r,则有二者的关系: N*rd = 1。如此我们可以归纳出分维的概念来。
上述定义还不是严密、精确的定义。经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形丰富的内容,将许多分形给漏掉了。实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义。正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可作如是观。英国学者肯尼思.法尔科内则认为分形是符合上述五大性质的集合。而计算维数的方法也有多种多样,得出的结果也不尽相同。不论由哪种方法得出的分形维都用D来表示,尽管不同的方法导出的D的值稍有不同。[6](P10-13)
参考资料
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二〇一〇年十月十五日星期五
转载
分形几何学
---研究碎片形态的几何学
分形几何学(The fractal geometry)是继随机数学、模糊数学和浑沌学后,又一门研究事物非连续光滑规整确定形态的数学分支,由美国数学家波努瓦·曼德勃罗特(B.B.Mandelbot)于上世纪七十年代所创立,为我们对事物形态尤其是碎片形态这一特殊形态与运动方式的复杂性研究提供了一个观察的新视角。[6](P1)分形几何学是一门比较高深的数学分支,我们力图用通俗的语言深入浅出的加以介绍。
B.B.曼德布罗特是美籍法国数学家,1924年11月20日出生于波兰华沙一个立陶宛犹太人家,其父是一位成衣批发商,母亲是位牙科医生。1936年全家移居法国巴黎,他的叔叔索列姆·曼德布罗特(Szolem.Mandelbrot 1899.1.20-1983.9.23) 在巴黎,是一位杰出的纯数学家和复分析专家。
曼德勃罗特
曼德布罗特1945-1947年在高等艺术学校学习,1947年于巴黎理工学校(Ecole Polytechnique Paris)毕业,1948年获美国加利福尼亚理工学院帕萨迪讷获航空学硕士,1952年在巴黎大学获哲学(数学)博士。1958年因与布尔巴基学风相左离开法国前往美国定居,先后在哈佛大学教经济,耶鲁大学教工程,爱因斯坦医学院教生理学。 [1]
他现在仍然在美国IBM(国际商业机器)公司沃特森研究中心自然科学部担任高级研究员,同时在哈佛大学应用数学任兼职教授,美国国家科学院院士,美国艺术与科学研究员成员,欧洲艺术、科学和人文研究院院士(巴黎)。上世纪80年代以来,获得了许多荣誉。1988年共获四项大奖,其中“科学与艺术”奖的目的是“促进艺术、科学和工业界之间的相互渗透的重大科学创新,从而使美学创造力伸展到科学技术领域中”。1989年获得在以色列颁发的“科学与艺术哈维(Harvey)奖”。[1] 曼德布罗特教授投身科学事业40余年来,在许多领域做出了重要贡献,横跨数学、物理学、地学、经济学、生理学、计算机、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、哲学与艺术等学科与专业,是一位名副其实的博学家。他研究过海岸线、通讯中的噪音、尼罗河水位的记录、棉花价格和股票市场的涨落等不规则的东西,取得了令人瞩目的成就,由于他的奔走呼号和锲而不舍地持续努力,分形理论才发展成为一门应用广泛、用途远大的边缘横断学科。[2]
曼德布罗特的经历曲折不平充满神奇。由于战乱,他的学业时断时续,受的教育也很不正规。年轻时参加过法国著名的数学团体即布尔巴基学派,但由于布尔巴基摒气一切图形,过分强调逻辑分析和形式主义,使得他无法忍受而转到巴黎理工学校读书。10年后,因同样的原因而离开法国到美国定居,他不愿意放弃自己的几何直觉。他长期生活在一个被人遗忘的数学角落里,用一种非正统的方法探索一些“不时髦”的原理。对纯粹的数学家来说,曼德布罗特是不够格的数学家,既谓神无方而又易无体,经常作为异端受到指责和批评。曼德布罗特戏谑自己是一为游牧民,又叫自己是“按需先锋队”,徜徉于自己爱好的天地中。
曼德布罗特在数学尤其是几何学与计算机两方面都兼通,擅长于形象空间的思维,具有把复杂问题化为简单生动甚至彩色图象的本领,无论是什么数学问题,他几乎都能巧妙地把它转化为几何问题,通过图形变换求解,其思维极其图形化。1967年发表于美国《科学》杂志上的“英国的海岸线有多长”的划时代论文,是他的分形思想萌芽的重要标志。1973年,在法兰西学院讲课期间,他建立了分形几何学的整体思想。
曼德布罗特对不规则的形状和不规则的现象非常感兴趣,他对早期人们遇到的“病态”集合进行了研究,包括康妥集、魏尔斯特拉斯曲线、皮亚诺曲线和科克曲线等等。为了给自己研究的那些极不规则、破碎不堪、不光滑、不可微的东西命名,1975年冬他创造了fractal一词,原义是不规则的、分数的、支离破碎的。同年他以《分形:形状、机遇和维数》(法文版)为名发表了他划时代的专著,奠定了分形理论的诞生。这是一本漫谈体的书,插图丰富,抽茧统纪,才思横溢博学而古怪,引起众说纷纭。1982年经扩展和加工的另一本书,英文版的《大自然的分形几何学》又与读者见面。此书文字艰涩又不失幽默,引经据典旁征博引,他自称是一本“宣言书”又是一本“个案记录”,但被分形界的学者视为“圣经”。
1 分形几何学产生的背景
在函数和几何研究中,数学家们发现,客观世界中既存在着连续现象,也存在着大量不连续现象,更多的事物呈现不光滑不规整不确定的形态,尤其是上个世纪以来,科学家们对不连续不光滑的现象倾注更大的注意力,在不连续不光滑形态研究中取得重大进展,诞生了随机数学、模糊数学和浑沌学等新的学科。[10](P89)在不连续形态分析中,人们又注意到另一种特殊现象,即物体形态呈现锯齿形,如同碎裂的石片。例如,大千世界中诸如蜿蜒曲折的海岸线,天空中奇形怪状的云团,太空中星球星罗棋布的分布,生物体不规则的生长,分子和原子无规运动的轨迹,岂特物为然,许多社会现象亦如是,社会科学中的人口、物价等等问题何尝不呈现异常复杂毫无规则的形态。这些物体的形状与现象,委曲微变,不可胜道,其繁杂程度令人无从下手,欧几里德几何的要素是光滑的直线、平面、圆、球等,但是曼德布罗特教授说,“云不是球、山岳不是锥体、海岸线不是圆、树皮不是光滑的,闪电也不是沿直线传播的。”
图表 1
著名的例子是康妥集(Cantor set在集合论等数学领域都用到的一个典型的例子)由德国数学家格奥尔格?康妥(Georg Cantor)引入的一种点集概念。它是在一条线段上的一些点的集合,具有不可数和自相似的特征,是最容易构造的分形。设E0是闭区间[0,1](表示满足0《x《1的实数x组成的集合),E1表示由E0去掉中间三分之一后得到的集,即E1包含[0,1/3]和[2/3,1]两个区间。分别去掉这两个区间的中间的1/3而得到E2,即E2包含[0,1/9]、[2/9,1/3],[2/3,7/9],[8/9,1]四个区间。按此方法继续下去,则Ek是由2k个长度各为3-k的区间组成。三分康妥集F是由属于所有Ek的数组成的,确切地说, k=0Ek,F可以看成是集序列Ek当k趋于无穷时的极限。显然,不可能画出带有无穷小细节的F本身,所以F的图实际上只是一个k无穷大时对F较好逼近的Ek的图。[6](P1)
图表2中的Sierpinski三角形是从一个初始的等边三角形反复去掉(相反方向)小等边三角形得到的,将此过程看成是反复用三个高为原高一半的三角形取代原来三角形的过程。
图表 2 Sierpinski三角形
用欧几里德几何无法来解释更无法来分析碎片现象来解决这些无规则的问题,那时,人们无奈只好把这些现象和问题抛在一边苟且不加理会了。[7](P3)
恰巧,二十世纪以来,科学们日益重视局部性的研究,已经在对事物的局部研究上取得相当的成绩,微观技术和微观数学已经蓬勃发展起来,[10](P96)分形几何学早期的工作可追溯到19世纪。[10](P100)借助微分几何中流形理论,以及测度论等工具,由美国数学家曼德布罗特教授建立起分形几何学,专门研究动态大系统中,自相似现象的一种特殊形态。他将这些形态的现象比拟为碎石片(fractal),即分形。这些不规则的图形的整体可与部分产生自相似,即部分的形状与整体的形状是一样的,不论部分如何小下去,如同全息论的思想[10](P114),在每一个部分都带有整体的几何形状的信息。[7](P9)类似于人体血液,任选一滴化验,都可反映出人体全身的血液成份。再如洋葱头和中国古代的箱套,以及大宇宙和小宇宙说法的层层相套结构是空间自相似的典型。[10](P113)
分形碎片现象在客观世界中太频繁多见了,分形的怪异性质在自然界中普遍存在,因此研究分形现象有重大价值,包括物理、化学、生物、地球科学、天文物理学中不规则图形,都可以近似或类似地看作分形加以解释和处理,而处理分形现象所需要的数学工具也都成熟齐备,至此分形几何学便应运而生了。[10](P93)
如果我们用不精确的语言来描述说,随机数学研究事物的统计大致的不准确性质,模糊数学研究物体的多值不确定性,浑沌论研究整体无规律,局部有规律的混乱现象,则分形几何则研究整体与部分之间有自相似关系的缺牙斑疵的不光滑形态,复杂世界需要更贴近自然的直接从非线性复杂系统本身入手的分形几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何是描述大自然较普遍现象的一门几何学。
2 分形几何学的基本概念和原理
分形几何学中概念专业化较强,我们用通俗和专业(见附录)两种方式来分别作介绍。
用通俗的方法讲,分形几何亦即是研究自相似复杂图形和结构的几何学。何谓是自相似呢?我们在中学几何中知道,相似形是指两个成比例的图形。彼自相似就是整体与部分的形状是相同的图形,局部与整体在形态、功能和信息等方面具有统计意义上的相似性。适当地放大或缩小分形对象的几何尺寸,整体结构并不改变,这叫做标度不变性。[17](P78)例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈,在形状上并无大的区别,大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系;[10](P101)我们再拿来一片树叶来观察它的叶脉,它们也具备如此性质;夫动物也不例外,一头牛身体中的任一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面,无论怎样放大其局部,它都是粗糙不平的。这些例子在我们的身边俯拾即是随处可见。分形几何以非规则几何形态为研究对象,揭示了世界的自相似的本性。从康妥集和Sierpinski三角形的图形,我们可以看出这些图形如下的一些性质,即分形的性质:[6](P3,P11,P229)
1)、分形具有精细的结构,即在任意小的尺度内包含着整体的结构。即分形集都具有任意小尺度下的比例的细节,越放大康妥集的图,间隙就越清楚地呈现出来。也称为标度不变性或无特征长度,是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构形态性质功能,复杂程度不规律性等各种特征均保持不变(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性。往往是所考虑的对象中最具有代表性的尺度,如空间的长宽高,时间的时分秒等。
2)、无论从局部和整体上看,分形是不规律的,它不能用传统的几何语言来描述,它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是任何简单方程的解集。
分形也不能用通常的面积体积等尺度来度量。例如康妥集F在某种意义上是相当大的集(是不可数无穷集),然而它的大小不适合于用通常的测度和长度来度量,用任何合理定义的尺度度量F的长度皆概为零。
从康妥集我们还注意到, F的局部几何性质也是很难描述的,在它的每点附近都有大量几曾被种种条件的不同间隔分开漏弃的其他的点。
3)、分形是自相似的,例如在康妥集中,在区间[0,1/3]和[2/3,1]内的F的部分与F是几何相似的,相似比为1/3。进而E2的四个区间内F的部分与F也相似,相似比为1/9。以此类推,康妥集包含许多不同比例的与自身相似的样本。
分形集具有某种自相似形式,或许是近似的自相似性,或许是统计意义下的自相似性。
4)、通常分形的“分形维数”比它的拓扑维数要大,一般地说严格大于它相应的拓扑维数。(指欧氏空间中的几何对象数或变量数)。
5)、在大多数情形下,分形集由非常简单的方法定义,可以用变换的迭代产生,即是递归的。例如康妥集,虽然F有错综复杂的细节结构,但F的实际定义是非常简单明了的。乃是一个迭代过程得到的,我们的结构是由反复地去除区间中间`1/3得到的,持续k步骤得到的Ek是F的越来越好的逼近。[10](P107,P111)
将上述分形的性质加以整理,以及从对分形通俗的描述可知分形几何学具有如下两个基本思想,自相似性和分数维:
1)客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义的相似性。
客观事物具有自相似的层次结构,局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性,成为自相似形。例如,一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极,不断分割下
去,每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构,适当的放大或缩小几何尺寸,整个结构都没有发生变化。概言之,分形是如此一种对象,将其细微部分放大后,其结构看起来仍与原先的一样。例如,任意一段海岸线就像是整个海岸线按比例缩小的结果。
2)分数维是刻划分形的特征量。
自相似性好理解,分数维不太好理解,我们先来看一下,什么是维? 从字面上讲,维即维系,维持并联系,使不涣散。如织物上纵横经纬线,将线排列编织成织物。N维就是N条直线两两垂直所形成的空间。
若是从变量或参数的角度来看,这个参数就叫做维。几个参数即是几个维。例如,0维是点,没有长、宽、高。一维是由无数的点组成的一条线,只有长度,没有宽、高。二维是由无数的线组成的面,有长、宽没有高。三维是由无数的面组成的体,有长宽高。[10](P97)
通过直线与实数的对应关系,那么我们可以知道,所谓的分数维,也就是说,参数取值于实数集中的某一子集(孤立点集、离散集),是实数集的若干分之一。其维不是整数,而是若干分之一。如康妥集即由直线中去除了若干点剩余的部分,是直线的若干分之一。它的长度为零,故维数不能为1。但维数也不为零,因为它有无穷点,又不是只有一个点,故其维是大于零小于一的分数。经具体计算,康妥集的维数为:log2/log3=0.6309…。[6](P51)
在Sierpinski三角形中,我们首先作一个完全填充的三角形(二维)。然后,我们从中间移去一个三角形,然后再在剩下的三角形中分别移去一个三角形。最终它的面积等于零了,于是,它的维数自然小于 2 (如果维数等于2,则面积就不能为零了),但是却永远达不到 1 ,因为,无论何处,它都不接近一条线。故而,它的维数必在2与1之间,经过数学计算后知道,它的真正维数大约是1.5850。
我们也可以根据自相似性来导出维的新的概念。[6](P160)首先把一条线段分截成两个相同的小线段,我们把这种分截的结果有意写成数学式子:2=21,或者以2为底写成 log22/log22=1,其中指数为1,就一个方形而言,把边长分为二等份,结果产生出与原来形式相同的四个小方体:4=22,以2为底写成对数形式为log24/log22=2.同理,把一个立方体的边分为二等份,就产生出同原来形状相同的8个小立方体:8=23,以2为底,写成对数形式则有log28/log22=3.这里的指数,1,2,3是从相似性概念推导出来的,我们可以把这个概念加以推广,具体地说,如果把一个物体的边长分成a 个小线段,并且结果产生出同原物体形状相同的b个小物体,根据如上所述,可以把这个结果写成b=aD;,其中的D为相似性维数,D=lnb/lna。这个D并不定为整数,如在科赫曲线中,其D为ln4/ln3=1.26。于是乎维的概念突破了欧氏几何的传统概念,而出现了分形的维为分数的情况。这里需提醒读者注意的是,由于人们对事物观察的角度不同,对几何结构的认识是则相对的,因此维数也是多样的。[7](P10-19)
现在对分形的研究大体上分为以下几个方面,其一是对自然界、社会经济以及艺术等领域中的典型分形形态进行观察实验;其二是应用于各个技术领域;其三从数学理论的角度研究分形和分维,试图建立分形理论的数学基础;其四对多分形和复分形展开研究;其五从物理的角度对分形形成的机理和动力学规律等进行研究;其六是从哲学方法论和科技史的角度对分形理论的认识意义哲学启示进行研究,[10](P102)第六方面国内翻译介绍得较少,一般见诸于期刊杂志上哲学观点仍然是企图用马克思主义加以曲解而枉其道,前阻后追,使分形等新科学奥妙精辟思想不为国人所认识接受,使国人生活在愚昧落后的马克思主义意识形态中。
3 分开几何给我们的启发
到了现代,事物的形式与形态问题愈加吸引了人们的注意,并且进一步和系统信息和控制等理论联系起来,出现了一些专门研究形态或与形态有关的学科,例如表面物理学数理逻辑等,而化学在一定意义上说是研究物态和构形的科学,生物学与形态的关系则更为明显。将形式与内容本质割裂开来并加以抽象的形式主义终于作为科学研究重要的思想方法为人们所普遍接受并运用,而分形几何学则是一门侧重事物外在形式研究的现代科学。另一方面,现代科学揭示出来的随机、模糊、浑沌和孤立子等许多问题涉及重新认识确定性与随机性、必然性与偶然性、有序与无序、简单与复杂……这些范畴,进一步涉及对时空观、自然观、规律的认识。
3.1验证了客观世界存在着无规律的现象。规律性表现为有序性,从常规数学来看,分形是不规则点集(即无序的),但它却存在着局部与整体的自相似,其维数是非整数,它的形态是复杂的,盘涡谷转,凌涛山颓,无法用传统数学描述,但却可以用简单的迭代法生成。故我们说,分形之“序”在有序与无序之间的状态——“浑沌序”(或称为半序)。浑沌序是说,就其不具有周期性和对称性而言,它是无序的;但就其随时间演化表现出来的倍周期分岔进入混沌具有相同的速度和周期点分布遵循一定规律来看,它又是有序的。而分形就其空间结构的自相似来看,它是有序的,但从规则上来看又是无序的即无规律的。可以这么说,分形是规律性偏强些的不规则图形。
所以,混沌序不仅扩大了我们对物质运动规律性的认识,而且将促使我们重新审查我们先前的自然观。我们可以提出这样的自然观,存在着一种准(半)规律,即从有序的角度来衡量是无规律的,从无序的角度来看有存在某些局部的规律性。浑沌即是从整体上看无规律,在局部存在着规律。而分形的准(半)规律则说,局部可以与整体的形状相似或相同,分形的维数是分数维。当然这种准规律决不能等同于一般的规则,不能建立起分形局部或整体的序,从而无法建立起整体的规律或者局部的规律并从局部的规律推绎出整体变化的趋势。否则分形则成了规则图形。人们通过对分形的认识,又了解到了一种不规律的无序现象,补充了人们认识到的整体无规律的案例和认知,再一次验证了整体不可精确预测的事实。中国有一部分学者,企图扩大“规律”的内涵,以否定客观世界不存在无规律的现象,用准规律(半序)来混淆精确规律(良序),以说明世界都是可认识的,世界都是有规律的,然后来说明马克思发现了人类社会发展的规律,创建了科学社会主义,进而固守共产主义的信念和共产主义学说的真理性,这种企图是徒劳无益的,充其量也只不过是准规律,具有严格的局部性。从一定意义上说,社会风气的流行,经济趋势的发展,甚至城市道路的延伸,商业网点的扩展等等也都是按照分形无规律或准规律生长的。若我们总是硬以精确规则或原则(何况大多数是过时了的或错误的原则)去套现实中的问题,必定碰得头破血流,对待社会问题,我们只有根据选民的意见调整,以人民的幸福度为准则,所以,我们是名正言顺的半原则性者或“机会主义者”。
3.2 局部和整体的自相似现象。分形具有精细的结构,即在任意小的的尺度内包含整体的结构。即分形集都具有任意小尺度下比例的局部或子集。从分形和整体之间的自相似现象,我们可以从分形的整体形状推知每个局部的形状,反之也可从整体的形状推知局部的形状。[6](P100-117)凡是在人类社会活动和社会体系中客观存在及其表现出来的自相似性现象,我们皆可称为社会分形。这种分形几乎涉及以社会的各个层面为研究对象的所有社会科学部门。我们可以把知识信息时代的世界看成是一个分形。不论是全世界还是局部都几乎相似或几乎是同样的呈现出如下的形态,即私有经济和公有经济混合互补存在,不会只存在私有经济,也不能只存在着公有制经济;知识经济取代了资本经济信息时代经济运行的知识动力;知识力量超越了资本力量,社会跟随知识变化,科技取代经济成为社会进步的决定性力量,科技专家主宰和掌握人类的命运;共赢共存的阶层关系,企业的发展不再为资本家手中的资本掌握,而取决于企业白领工人掌握的知识信息,以及他们的知识再创造能力、取决于白领工人新知识转变为生产力的能力和效率。企业的发展方向投资方向利益的分成,取决于白领工人。况且利润分成更加公平,出现了收入的均等化,无产(无资本更为确切些)阶级贫困化不复存在,无产阶级已经不存在了,资本家与工人阶层之间的差别已经消失。阶级阶层及其结构都出现了一系列的重大变化,阶级斗争这样的小斗争已经让位于平民阶级与官僚特权阶级的斗争。贝尔认为,蓝领工人成为少数,白领工人成为多数,成为社会的主导性力量和统治阶层。资本家与工人阶层的关系不再具有对抗性,他们的关系已经融洽为合作投资者与合作劳动者的关系。信息社会必须实行对所有公民都民主的政治体制,人人有参政议政权利,了解真实信息的权利,民主制定公平合理的竞争法则,需要建立一个民有民治民享的政府。信息社会国家的政府都务必保障公民的政治权利,如选举权,思想言论自由,信仰自由,集会结社自由。由多数派组织政府,同时尊重少数派的权利。社会将力图克服杜绝不平等现象,官僚特权阶级必须铲除,坚决反对贵族特权阶级和独裁制度。在知识信息时代倘若不遵守信息时代都相似的社会形态规则,反其道而行之去推行专制统治抵制普世民主制度,工人没有自己的工会,没有罢工自由结社新闻自由是非常危险的,积累的矛盾每每将暴发出社会难以承受的冲击波,如今中国不仅盗贼蜂起,而且仇富杀富现象频频发生,恶性案件此起彼伏,万围千寻妨道路,当早易道以违其害。无论是那个国家或地区只要进入知识信息社会,都和全世界一样,在政治体制上都必须实行民主政治体制。即民主政治体制在知识信息社会是自相似的,是一种不以尧存不以桀亡的普世价值。
有人云,分形整体中有局部,局部中有整体,说明分形具有整体和局部的辩证统一。这种说法不太准确,所谓辩证统一,主要指对立统一,而局部是整体中的一部分,局部和整体显然不是对立关系,而是互补关系,所以,准确的说法是,分形具有互补统一性。
3.3分形是不可精确测量的,甚至是测不出来的。分形几何学说明,事物大多数不具有连续、光滑、规整、确定的形态,而间断、突变、随机、奇异的病态才普遍又正常。[10](P90)而病态的事物是不可能精确地测量预测的,没有规律变化莫测。举例说,海岸有平坦的沙滩,但更多的是岩石块、结构各异的海湾、大小不一的断层、深浅不同的峡谷,还有江河的出口,海岸的结构是十分不规则的,“野船著岸偎春草,水鸟带波飞夕阳”,即使是最详细的地图也难于把这些结构细节一一表示出来。在二十世纪七十年代,法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长?这个问题则依赖于测量时所使用的尺度。
如果用公里作测量单位,从几米到几十米的一些曲折会被忽略;改用米来做单位,测得的总长度会增加,但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由此来看,在测量中所采用的标度越小,所测得的海岸线就越长;每一次缩小测量中所用的标度,便增加了测得的长度,这是因为小的标度能够测量到更多的不规则区域,从而增加了海岸线的长度。
假设海岸线有一个一定的长度L的话,当测量的标度趋于零时,则海岸线的长度应当趋于L,但事实上并非如此。事实上,当测量中所用的标度趋于零时,所测得的海岸线的长度并不趋于某一固定值。这意味着海岸线的长度是测不出来的。
由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制,取不列颠岛外缘上几个突出的点,用直线把它们连起来,得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子,使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间,存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区,长度不是海岸线的定量特征,就要用分维。概言之,分形具有许多个标度和无标度区,分形的长度不能精确地测量出来。
因为严格的因果关系只有在一个有限的孤立系统中才能导致严格的决定论,如果宇宙是无限的,那么其中任何一个有限世界都会有一个无限大的外部环境,来自无限遥远处的不可测因素将会不断破坏有限世界的决定论;横看成峰侧成山,远近高低各不同,“无限”是不可描述不可总括的,无限宇宙本身也不能成为一个系统,不能有一个整体的‘现状’作为决定论的前提。再说,如果系统是开放的大系统,那么存在众多的临界点和分叉点等等不稳定点,在这些点上社会发展受到即使微小的扰动也足以导致完全不相同的状态,此时起决定作用的往往是被人忽略的微小因素。因此,社会长期的预测是没有意义的,换言之,在社会动态大系统中,决定论是不成立的。[7](P3-6)
普里高津的《确定性的终结》一书“从经典科学的中心概念‘时间’入手,向传统的科学观、宇宙观发起了总攻击,明确宣告(无限或动态开放系统中)决定论已经寿终正寝了。可以预料,这部著作的思想和理论必将在科学史上带来一场新的革命。”[8]
3.4还原论的局限性
还原论涉及部分与整体的关系,它把整体分解为一些相同的部分,然后通过研究部分的性质,再把部分的性质叠加起来作为整体的性质,然而,分形理论揭示出部分与整体具有自相似的关系。因此,作为还原论思想在数学中应用的无限细分、无限求和的方法亦已不能应用于分形,因为它没有反映部分之间的相似性,反映了还原法的局限性(注:在一般系统论就已经指出,部分的功能和不等于整体的功能)。所以分形学家创造了一种反映部分与整体、部分与部分的相似性的专业数学方法——迭代函数系统,成功地用于描述和生成分形图。所以迭代函数系统成为研究复杂形态的新方法。在科学研究尤其是社会科学研究中,人们多习惯于使用叠加的方法,通过对分形学知识的了解,我们再遇到分形现象的问题,就当改用迭代函数方法来计算处理,迭代函数方法才是处理计算分形问题对症下药的有效方法,迭代函数方法在分形几何学和动力系统学中都有详细的专业介绍,有数学基础或兴趣的本科生花点时间是不难掌握的。[10](P103)现有分形几何学中的分数维概念还是建立在线性可列和的基础上(见测度定义),笔者以为,若用系统论的思想建立测度论,则分形理论可能会更好地反映复杂系统的特征。
3.5 分数维对时空观的变革
自然观随着人们视野的扩大和对自然界认识的深化而发展,也会因观察世界的角度和研究重点的改变而改变。[10](P89)而维数则是分形几何中改变的人们认识自然的一重要参数,是描述空间和时间的最基本特征量之一,因而维数观念是构成时空观的重要内容。分形几何揭示了复杂事物的空间结构的维数是分数的,它表示分形图填满空间的程度,表示分形图的复杂程度。因此,它改变对维数的传统认识,即把空间维数看成是确定物体位置的最小坐标数。维数观念的变革将引起时空观的变革,因为这样一来,时间不再具有光滑的平移性,空间也不再具有均匀性和旋转性,存在着许多空间漏洞或时空隧道,从而作为自然科学基础的时空观也将发生根本的改变,建立在新时空坐标上的各门自然科学也将发现新的许许多多有趣的新的属性,这将犹待着我们重新去开采探索和发现。[9] 分形理论为我们提供了一个观察世界的新视角,即从事物形态和运动方式的复杂性方面来观察世界,从这个观点出发,人们惊奇地发现,以往许多关于时间空间形态等方面的传统看法都需要加以彻底改变,[10](P89)假若仍然以一百五十多年前的老观念看世界用老方法来解决新问题无疑是削足适履不适用了。所以,以往的任何科学都有其局限性,有条件限制,不存在放之四海而皆准的绝对真理,更为重要的是,马克思主义从理论上说是荒诞的,从实践上说是行不通的,与信息时代相似性相悖,在信息社会是为怪诞嵬说。所以,马克思主义不是可修正补充发展的科学纲领,而是被淘汰废替的一种错误的假说。
物各有形人各有貌,万物万形,千人千貌,专制社会一方面抵制社会形态的普世价值,另一方面在国内又否定特异性强调统一性。具体的人和物有其自相似变换中的不变量即特征形态,而社会人与人的关系,工业社会和信息社会的特征则是对任何国家都是相同的,他们在全世界是自相似的,而每个人则是个小宇宙只能是自己自相似,他们在演化中都力图保持自己的特征形态,保持自己的特征形态的稳定性,那么每一个人的自由发展的空间对每一个的发展来说是断不可缺少的。
3.5 简单与复杂的互补统一
曼德尔勃罗特(B.B.Mandelbrot)研究中最精彩的部分是1980年
他发现的并以他的名字命名的集合,他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结 构。
Mandelbrot 集
Mandelbrot 集合图形的边界处,具有无限复杂和精细的结构.当你放大某个区域,它的结构就在变化,展现出新的结构因素。无论你怎样放大它的局部,它总是曲折而不光滑,即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中却是凤毛麟角见之不多。所以说,Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战和叛逆。
数学上的分形大多是通过反复迭代构造出来的,Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子 Z <- Z2 + C 进行迭代产生的图形。[6](P266-300)虽然式子和迭代运算都很简单,但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。[6](P229-265)在传统几何学中难以寻觅到如此简单的换算导致如此复杂而生动的例子。
分形几何学告诉我们,分形是自然和社会中事物的普遍存在形式,真实世界是多分形的,事物的复杂性态不仅表现在属性上而且表现在形态上,分形维就是图形复杂程度的一种测度。分形生长是系统演化的一般方式,也是事物发展的基本形式。[10](P103)Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。例如,大型团体操中每个人穿的衣服只是几种颜色中的一种,每个人的动作也只是导演规定的几种之一。但是整体上可以显示出千奇百怪的复杂形态。人们在处理事情的过程中,总希望简单便捷,但往往是带来错综繁杂的结果。民主国家经济结构多元化混合经济,经济繁荣物质丰富。共产主义国家经济单一,物质贫乏,经济困难。民主国家思想多元活跃,专制国家思想一元,对客观世界的认识和建设常倍道而妄行,总是再三返工,浪费人力物力和时间。
再如,在国家行政权力的更迭过程中,民主制度设计的程序手续比较复杂,五音杂陈似有民主生乱之像,但后果却是全社会喜气洋洋皆大欢喜。唯独专制制度的政权更迭过程手续过于简单(其实协调的过程也是兴师动众劳民伤财),就在少数人中甚至于主要几个人中拍板苟得决定,结果却搞得非常复杂,剑拔弩张腥风血雨,甚至是灾难性的天下大乱,且人民群众不认可指定的结果。民主国家决策过程复杂后果良好,专制国家决策简单,后果却是差强人意。
附录:下面我们再略知一下,分形几何严格的数学描述,对数学不感兴趣的读者可略过这一部分内容。[10](P119-127)
拓扑学(Topology):是近代发展起来的一门较新的几何学,这门学科的产生于几何学以及集合理论,如空间、维数和变换。拓扑学主要研究图形在连续的变形过程中不变的整体性质,这些变形包括对物体进行拉伸、挤压等。拓扑学对于分形几何学的兴起有着重要的影响。
同胚(Homeomorphism):即同胚映射,指两个拓扑空间之间的双连续函数(即这个函数是一一对应的连续满映射,同时它的逆映射也是连续的)。简单来说,拓扑空间就是一个几何物体,同胚就是把物体连续延展和弯曲使其成为一个新物体。如:圆周和正方形的边界同胚。
测度(Measure):测度是环上的非负广义实值函数,可以取得有限或无限值,并且它具有可列可加性,在空集上的值为零。[6](P24)
豪斯多夫测度(Hausdorff Measure):设F为n维欧几里得空间中的任何子集,所有直径不超过ε>0的F的覆盖的s次幂的和达到最小(下确界),随着覆盖数目趋于无穷而ε趋于零时的下确界称为豪斯多夫测度.记为Hs(F).[6](P42)
德国数学家菲利克斯?豪斯多夫(Felix Hausdorff)引入的一种给任意一个复杂点集赋予维数的方法。从豪斯多夫测度定义可以看出,对集F和1>ε>0, F的覆盖的s次幂的和的下确界对s来说是不增的,所以极限即豪斯道夫测度也是不增的。即存在着s 的一临界点,使得豪斯道夫测度从∞跳跃到0.
∞
Hs(F)
∞
Hs(F)
0 dimHF s n
∞
Hs(F)
0 dimHF s n
∞
Hs(F)
豪斯多夫维数(Hausdorff dimension):存在着s 的一临界点,使得豪斯道夫测度从∞跳跃到0,这个临界点称为F的豪斯多夫-贝西康维奇维数(Hausdorff--Besicovitch dimension),也称为豪斯多夫维数,记为dimHF. [6](P46)
分形的定义
曼德尔勃罗特曾经为分形下过两个定义:
(1)满足条件 dimHF >dim(F)
的集合F,称为分形集。其中,dimHF为集合F的Hausdoff维数(或分维数),dim(F)为其拓扑维数。一般说来,Dim(A)不是整数,而是分数。
经过数学计算,我们可以得到一种结果,d = (log N) / (log (1/r))
该定义是由曼德尔勃罗特在1982年提出的。这里涉及较艰深的豪斯道夫维数Dh和拓扑维数Dt相关集合知识,故这里就不再细述。四年后他又提出了一个实用的定义。
(2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形。
下面再来做下分数维的简单计算,根据自相似性来导出维的另一个的定义。[6](P56)
假如你把一条直线分为 N 段,那么,你就有了原始直线的 N 个更小的版本,每一个都按照一个比例系数 r 减小,在这里 N*r = 1。对一个正方形来说,也分成几个小的正方形,也让每一正方形的每边的缩放比例为 r ,则有N*r2 = 1.以此类推, N 和 r 的关系有 N*rd = 1。即你把一个 d 维物体假设分为 N 等份,每一份的缩放比例是 r,则有二者的关系: N*rd = 1。如此我们可以归纳出分维的概念来。
上述定义还不是严密、精确的定义。经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形丰富的内容,将许多分形给漏掉了。实际上,对于什么是分形,到目前为止还不能给出一个确切的定义。正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样,人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可作如是观。英国学者肯尼思.法尔科内则认为分形是符合上述五大性质的集合。而计算维数的方法也有多种多样,得出的结果也不尽相同。不论由哪种方法得出的分形维都用D来表示,尽管不同的方法导出的D的值稍有不同。[6](P10-13)
参考资料
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17.王晓巍等 黄河与长江两经济带形成的分形比较研究 中国软科学 2008(12)
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1899年谁出版了《几何学基础》?