玛琉.拉米亚斯父亲:难点16 三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径,特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍.
●难点磁场
(★★★★★)已知
●案例探究
[例1]不查表求sin220°+cos280°+
命题意图:本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.
知识依托:熟知三角公式并能灵活应用.
错解分析:公式不熟,计算易出错.
技巧与方法:解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数问题,使解法更简单更精妙,需认真体会.
解法一:sin220°+cos280°+
=
=1-
=1-
=1-
=1-
解法二:设x=sin220°+cos280°+
y=cos220°+sin280°-
x+y=1+1-
=-2sin100°sin60°+
∴x=y=
[例2]设关于x的函数y=2cos2x-2acosx-(
命题意图:本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目
知识依托:二次函数在给定区间上的最值问题.
错解分析:考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错.
技巧与方法:利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.
解:由y=2(cosx-
f(a)
∵f(a)=
故-
y=2(cosx+
[例3]已知函数f(x)=2cosxsin(x+
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;
(3)若当x∈[
命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力,属★★★★★级题目.
知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.
错解分析:在求f--1(1)的值时易走弯路.
技巧与方法:等价转化,逆向思维.
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+
=2cosx(sinxcos
=2sinxcosx+
∴f(x)的最小正周期T=π
(2)当2x+
(3)令2sin(2x+
∴2x+
x=
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有:
1.求值问题的基本类型:1°给角求值,2°给值求值,3°给式求值,4°求函数式的最值或值域,5°化简求值.
2.技巧与方法:
1°要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角,熟练准确地应用公式.
2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.
3°对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法.
4°求最值问题,常用配方法、换元法来解决.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+
(-
A.
二、填空题
2.(★★★★)已知sinα=
3.(★★★★★)设α∈(
三、解答题
4.不查表求值:
5.已知cos(
6.(★★★★★)已知α-β=
8.(★★★★★)已知cosα+sinβ=
的值.
参考答案
难点磁场
解法一:∵
∴sin(α-β)=
∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
解法二:∵sin(α-β)=
∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)=-
sin2α-sin2β=2cos(α+β)sin(α-β)=-
∴sin2α=
歼灭难点训练
一、1.解析:∵a>1,tanα+tanβ=-
tanα+tanβ=
整理得2tan2
答案:B
2.解析:∵sinα=
则tanα=-
答案:
3.解析:α∈(
答案:
三、4.答案:2
∴当
7.解:以OA为x轴.O为原点,建立平面直角坐标系,并设P的坐标为(cosθ,sinθ),则
|PS|=sinθ.直线OB的方程为y=
于是SPQRS=sinθ(cosθ-
∵0<θ<
∴sin(2θ+
8.解:设u=sinα+cosβ.则u2+(